二维双曲型方程的隐格式解法(3)

巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

??22???22?2kkk22????=+f?uu(???)??????ij， ijxyx??y?tij?22????1?i.j?m?1, 1?k?n?1, （5.20）

令

??22?2kuij?????2?y???tuij，

??则有

??22?kk22??+， （5.21-1） u?fu(???)???ijijijxyx??2????22?2k????2?y???tuij=uij. （5.21-2） ??k?1k当第k?1层、第k层的值｛uij,uij,0?i,j?m｝已知时，由（5.21-1）

求出过渡层上的值｛uij,1?i,j?m?1｝：对任意固定的j(1?j?m?1)，取边界条件

u0j??22?2k??22?2k?????2?y???tu0j， umj?????2?y???tumj， （5.22-1） ????求解

??22?kk22? ?+， 1?i,j?m?1， （5.22-2） u?fu(???)???ijijijxyx??2??得到｛uij,1?i,j?m?1｝.

当｛uij,1?i,j?m?1｝已求出时，由 （5.21-2）求出第k?1层上u

k?1的值｛uij：对固定的i(1?i?m?1)，取边界条件 ,1?i,j?m?1｝

Dt?uik0?1[?(xi,y0,tk?1)??(xi,y0,tk?1)] ， （5.23-1） 2?1kDt?uim?[?(xi,ym,tk?1)??(xi,ym,tk?1)]

2?求解

??22?2k????2?y???t?ij=uij. 1?j?m?1， （5.23-2） ?? 5

二维双曲型方程的交替方向隐格式解法

得到｛?t2?kij，1?j?m?1｝. 最后由

k?1kkk?1 uij??2?t2uij?2uij?uij, 1?i,j?m?1 k?1得到{uij,1?i,j?m?1}.

（5.22-1）和（5.22-2）是关于x方向的隐格式，（5.23-1）和 （5.23-2）

是关于y方向的隐格式.它们均是三对角线性方程组，可用追赶法求解.我们把 （5.21-1）和（5.21-2）称为交替方向隐格式. 2.1.1算例

用交替方向隐格式（5.22-1）和（5.22-2）计算定解问题

?2u??2u?2u?11/2(x?y)?t???2??e， 0?x,y?1， 0?t?1， 22???t?y?2??xu(x,y,0)?eu(0,y,t)?eu(x,0,t)?e1(x?y)?t2(x?y)?t?u(x,y,0)2， 0?x,y?1， ??e?t11y?t2， u(1,y,t)?e， u(x,1,t)?e1(1?y)?t2， 0?y?1，0?t?1，

1x?t21(1?x)?t2， 0?x?1，0?t?1， .

该定解问题的精确解为u(x,y,t)?e1(x?y)?t2表3.2给出了取h?1/10,??1/10时计算得到的部分数值结果.表3.3给出了取不同步长时数值解的最大误差

kE?(h,?)?max|u(xi,yi,tk)?uij|.

1?i,i?m?11?k?n从表3.3可以看出，当空间步长和时间步长同时缩小到原来的1/2时，最大误差约缩小为原来的1/4.

图3.5和图3.6分别给出了t=1时精确解得曲面图和取步长

h?1/10,??1/10所得数值解的曲面图；图3.7给出了t=1时取不同步长所得数

值解的误差曲面图.

(图与编程见附页)

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巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

表3.2算例3,1部分结点处数值解，精确解和误差的绝对值(h?1/100,??1/100)

(x,y,t) (0.25,0.25,0.25) (0.75,0.25,0.25) (0.25,0.75,0.25) (0.75,0.75,0.25) (0.25,0.25,0.50) (0.75,0.25,0.50) (0.25,0.75,0.50) (0.75,0.75,0.50) (0.25,0.25,0.75) (0.75,0.25,0.75) (0.25,0.75,0.75) (0.75,0.75,0.75) (0.25,0.25,1.00) (0.75,0.25,1.00) (0.25,0.75,1.00) (0.75,0.75,1.00) 数值解 1.000006 1.284033 1.284033 1.648731 0.778805 1.000004 1.000004 1.284029 0.6065343 0.7788036 0.7788036 1.0000020 0.4723614 0.6065259 0.6065259 0.7787966 精确解 1.000000 1.284025 1.284025 1.648721 0.778801 1.000000 1.000000 1.284025 0.6065307 0.7788008 0.7788008 1.0000000 0.4723666 0.6065307 0.6065307 0.7788008 |精确解-数值解| 5.753e-6 7.343e-6 7.343e-6 9.737e-6 4.162e-6 3.961e-6 3.961e-6 3.515e-6 3.677e-6 2.794e-6 2.794e-6 1.898e-6 5.194e-6 4.780e-6 4.780e-6 4.166e-6

表3.3 算例3.1取不同步长时数值解的最大误差E?(h,?)

h 1/10 1/20 1/40 1/80 1/160 ? 1/10 1/20 1/40 1/80 1/160 E?(h,?) E?(2h,4?)/E?(h,?) 1.274e-3 3.540e-4 9.519e-5 2.493e-5 6.414e-6 ※ 3.599 3.719 3.818 3.887 7

二维双曲型方程的交替方向隐格式解法

3.差分格式解的先验估计式

k定理3.1 设{vij,0?i,j?m,0?k?m}为差分方程组 k?1k?1k?1k?1?2uij??4222k?uijuij?uij2k???x?y?tuij=gij ?u???x??y??22??42tkij1?i,j?m?1, 1?k?n?1, （5.24-1）

0uij??ij， 0?i,j?m， （5.24-2） 1uij??ij， 0?i,j?m， （5.24-3） kDt?vij?0， (i,j)??, 1?k?n?1, （5.24-4）

的解，则对任意步长s(s??/h)，有

E?e其中

E?hkk3k?2?03k?1l??E?2??gl?1?2??，1?k?n， ?1k???2?????v?xyt11. ?i?,j??i,j?0?22?m?12i,j?1???vm?1k?1/2tij?1?k?12?4h2k2???v?v??11??24k证明 用2h2Dt?vij乘以（5.24-1）的两边，并对i,j求和，得到

2h2i,j?1???2xm?12ktijv??k?1k?1k?1k?1?2vij??vijvij?vij2k?D?vijDv?2h???x??y?t?22i,j?1??k?ijt?2m?1

+

?42h2i,j?1???m?1??v2y2ktij?Dvk?ijt=2h2i,j?1?gm?1kijk， 1?k?n?1, （5.24-5） Dt?vij注意到

1212??m?1?m?1k??k???m?122?2??1?h2??22kk?v?h?v??tijtij， 2h???tvij??Dt?vij?=??????i,j?1?i,j?1?i,j?1?????

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巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

?2v?2h???x?i,j?1?2m?1k?1ij?v2k?1ij??2yvk?1ij?v2k?1ijk?12k?12???v1?v1???， k?Dt?vij=??2??2211??m?1?m?1?k?k???12k2222k222?， 2h???x?y?tvij?Dt?vij=?h???x?y?tv11??h???x?y?tv11?????i?,j?i?,j???i,j?0?i,j?1i,j?0?22?22????m?12h2i,j?1?gDv?hkijm?1k?ijt2i,j?1?(gij)?h2m?12i,j?1??Dv?m?1k2?ijt

?gk ?g2k21212??m?1?m?1k?k????122?2?? ???h2???v?h?v?tij??tij??2?i,j?1?i,j?1??????1?(Ek?Ek?1)， 2?由5.25得 1(Ek?Ek?1)?gk或

21?(Ek?Ek?1)， 1?k?n?1, 2???k???k?1k2， 1?k?n?1, 1?E?1?E??g?????2??2?当??2/3时，有

23?3?Ek??1???Ek?1??gk， 1?k?n?1,

2?2?由Gronwall不等式，可得

E?ek3k?2?03kl?E???g2l?1?2??， 1?k?n?1, ?定理完毕.

4.差分格式解的存在性、收敛性和稳定性

4.1存在性

定理5.2.2差分格式 (5.19-1)——(5.19-4)是唯一可解的.

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