二维双曲型方程的隐格式解法(2)

巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

1.前言

微分方程有着广泛的自然科学与工程技术的背景，例如热传导问题，流体力学问题，波动问题都可以用微分方程来刻画。然而，实际的运用中，大部分偏微分方程的解很难以解析形式表示出来，人们将研究的重心逐渐的向偏微分方程的数值解方向转移，众多科研家在研究偏微分方程的数值解方面做出了巨大的贡献， 。

变分法，有限差分法与有限元方法是目前运用最为广泛的偏微分方程的数值解法。其中，有限差分法以其 的特点被广大研究者所认可和研究。然而，利用有限差分法在求解偏微分方程的时也会有诸多的不足之处，比如不同步长情况下的稳定性与精度相差很多，因此，经过几代科学家的不懈努力，众多稳定性好，精度高的差分格式被提出，比如 。

在差分格式中，解决偏微分方程中二维双曲线方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI）格式可以避免此问题。

本文将从基本概念和基本方法入手，通过简单的二维波动方程，介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法及其简单的实际应用，起到初步介绍偏微分方程数值解法的目的。

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二维双曲型方程的交替方向隐格式解法

2.差分格式的建立

作为模型，考虑二维波动方程的初边值问题

?2u??2u?2u????2??f?x,y,z?, ?x,y,t?????0,T?, （5.16-1） 22???t?y???xu(x,y,0)??(x,y),

?u(x,y,0)??(x,y), ?x,y??? (5.16-2) ?tu(x,y,t)??(x,y,t), ?x,y???, 0?t?T, (5.16-3)

其中??(0,1)?(0,1),?为?的边界，且当（x,y)??时，?（x,y,0)??(x,y),

??(x,y,0)?t??(x,y).

在结点?xi,yi,tk?处考虑方程（5.16-1）.由泰勒展开式可得

?1k?1?1k?1?2?k??4222k?kkij??ijij??ij2???x?y?t?ij=fijk??ij ?????x??y??422??2tkij1?i.j?m?1, 1?k?n?1, (5.17-1)

?0ij??(xi,yj), 0?i,j?m (5.17-2) ?1ij=?(xi,yj)???(xi,yj)?1/2?2[?xx(xi,yj)??yy(xi,yj)?f(xi,yj,0)]??ij,

0?i,j?m, (5.17-3)

kDt?uij?1[?(xi,yj,tk?1)??(xi,yj,tk?1)] , 2? (i,j)??, 1?k?n?1, (5.17-4) 其中

fijk?f(xi,yj,tk), 1?i,j?m?1, 1?k?n?1,

4k?4u(xi,yj,?ijk)?4u(xi,yj,?ijk)??2?1?u(xi,yj,?ij)1???? ??????42222???4??t?x?t?y?t?12??4k?14k?11??u(?ij,yj,tk?1)?u(?ij,yi,tk?1)???424??x?x4?

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巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

?1?4u(xi,?k?ij,tk?1)?y4?4u(xi,?ijk?1,tkk?1)?2?4222k??h??x?y?t?ij 44?y??1?i,j?m?1, 1?k?n?1,

kk?1k?1?ij,?ijk?(tk?1,tk?1), ?ij?ij?(xi?1,xi?1),

?ijk?1,?ijk?1?(yi?1,yi?1),

3?u(xi,yj,t)1??ij??(??t)2dt, 0?i,j?m. 302?t且存在常数c,使得

k?ij?c(?2?h2), 1?i,j?m?1, 1?k?n?1, （5.18-1）

?ij?c?3, 0?i,j?m, （5.18-2）

?x?i?1/2,j?c?3, 1?i?m?1, 0?j?m, (5.18-3) ?y?i,j?1/2?c?3, 0?i?m, 0?j?m?1, (5.18-4)

?x?y?i?1/2,j?1/2?c?3, 1?i,j?m?1 (5.18-5)

对定解问题（5.16-1）～(5.16-3)建立如下差分格式

k?1k?1k?1k?1?2uij??4222k?uijuij?uij2???x?y?tuij=fijk ?u???x??y??422??2tkij

1?i.j?m?1, 1?k?n?1, (5.19-1)

0uij??(xi,yj), 0?i,j?m (5.19-2)

1=?(xi,yj)???(xi,yj)?1/2?2[?xx(xi,yj)??yy(xi,yj)?f(xi,yj,0)]??ij, uij0?i,j?m, (5.19-3)

kDt?uij?1[?(xi,yj,tk?1)??(xi,yj,tk?1)] , 2? (i,j)??, 1?k?n?1, (5.19-4) (5.19-4)等价于

2luij??(xi,yj,t2l), (i,j)??, 2?2l?n;

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二维双曲型方程的交替方向隐格式解法

2l?11uij??(xi,yj,t2l?1)?uij??(xi,yj,t1), (i,j)??, 3?2l?1?n

差分格式(5.19-1) ～(5.19-4)的结点图式见图5.5.

图5.5. 差分格式(5.19-1) ～(5.19-4)的结点图

2.1差分格式的求解

注意到

k?1k?1uij?uij2=

k?1kk?1uij?2uij?uij21kkk?uij??2?t2uij?uij,

2可将(5.19-1) ～(5.19-4)写为

?4222k?122kk?x?y?tuij?fijk ?u?(???)???tuij?uij?4?22ktij2x2y?或

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