大学物理课后习题答案详解(3)

解：（1）设所求方程为：x=Acos(ωt+φ)0从图中可见，t=0,x0=A/2,v0>0由旋转矢量法可知；φ0=-又t=1s,ωt-5π65πt-π)mπ3=π2π3?ω=

习题4.4图

63（2）P点的相位为0??tp??0?5?t?故：x=0.1cos(?0t?0.4sp6p3即质点到达P点相应状态所要的最短时间为0.4s?习题4.5一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t?0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）t?0.5s时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于x??6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。

解：由题已知 A=12310-2m，T=2.0 s ∴ ω=2π/T=πrad2s-1 又，t=0时，x0?6cm，v0?0 ∴由旋转矢量图，可知：?0???

3（?t?故振动方程为x?0.12cos (2)将t=0.5 s代入得

?3）

x?0.12cos（?t?）?0.12cos?0.103m

36v??0.12?sin（?t?）?0.12cos??0.189m/s 36a??0.12?2cos（?t?）??0.12?2cos??1.03m/s2 36方向指向坐标原点，即沿x轴负向．

(3)由题知，某时刻质点位于x??6cm，且向x轴负方向运动

??????即x０=-A/2，且v＜0，故?t=2π/3，它回到平衡位置需要走5π/6，所以： ∴t=Δ?/ω=(5π/6)／(π) =5/6s

习题4.5图

（加题）1.有两个同方向同频率的振动，其合振动的振幅为0.2m，合振动的相位与第一个振动的相位差为?/6，第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。

分析 根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。 解：采用旋转矢量合成图求解

取第一个振动的初相位为零，则合振动的相位为???/6 据A?A1?A2可知A2?A?A1,如图：

A2?A1?A2?2AA1cos??0.1(m)

2由于A、A1、A2的量值恰好满足勾股定理， 故A1与A2垂直.

即第二振动与第一振动的相位差为???/2

（加题）2.一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为

题图5-26

x1?5?10?2cos(4t??/3)(SI)，x2?3?10?2sin(4t??/6)(SI)画出两振动的旋转矢量图，

并求合振动的振动方程.

分析 须将方程转化为标准方程从而确定其特征矢量，画出矢量图。 解：x2?3?10sin(4t??/6) ?3?10cos(4t??/6??/2) ?3?10cos(4t?2?/3) 作两振动的旋转矢量图，如图所示.

?2?2?2由图得：合振动的振幅和初相分别为

A?(5?3)cm?2cm,???/3.

合振动方程为x?2?10?2cos(4t??/3)(SI)

题图5-27

（加题）3.一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数

J和动能0.02 J，求 (1) 振幅；(2) 动k?25N?m?1，如果起始振动时具有势能0.06

能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度． 解：(1) E?EK?Ep? (2)

12kA=0.08 A?22?0.08?0.08m 25121kx?mv2 ； k?m?2 ?m?2x2?m?2A2sin2(?t??) 22 x2?A2sin2(?t??)?A2[1?cos2(?t??)]?A2?x2

2x2?A2，?x??A/2??0.0566m

(3) 过平衡点时，x?0，此时动能等于总能量

E?EK?Ep?1mv2=0.08 A?22?0.08?0.8m/s

0.25（加题）4. 一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k=25N/m,当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时,求: (1) 振幅是多大? (2) 位移多大时,其势能和动能相等? (3) 位移是振幅的一半时,势能是多大?

2(Ek?Ep)12解: (1) 弹簧振子的总机械能为E?Ek?Ep?kA,故A??0.253m

2k (2) Ep?Ek?11112E?kA2 kx2?kA2 x??A??0.179m 24242121A2?0.20J (3) Ep?kx?k224波动部分：习题4.7、4.8、4.10

习题4.7有一平面简谐波在介质中传播，波速u = 100 m/s，波线上右侧距波源O（坐标原点）为75.0 m处的一点P的运动方程为

yp?(0.30m)cos[(2?s?1)t??/2]。求（1）波向x轴

习题4.7图

正方向传播时的波动方程；（2）波向x轴负方向传播时的波动方程。

解：（1）设以波源为原点O，沿x轴正向传播的波动方程为 y?Acos???t?xu???0?

将 u = 100 m?s?1代人，且取x = 75 m得点P的运动方程为 yP?Acos???t?0.75s???0?

与题意中点P的运动方程比较可得 A = 0.30 m、??2?s?1、?0?2?。则所求波动方程为

?1?1 y?(0.30m)cos[(2?s)(t?x/100m?s)]

(2)当沿x轴负向传播时，波动方程为 y?Acos???t?xu???0?

将 x = 75 m、u?100ms?1代人后，与题给点P的运动方程比较得A = 0.30 m、??2?s?1、?0???，则所求波动方程为

y?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)??]

讨论：对于平面简谐波来说，如果已知波线上一点的运动方程，求另外一点的运动方程，也可用下述方法来处理：波的传播是振动状态的传播，波线上各点（包括原点）都是重复波源质点的振动状态，只是初相位不同而已。在已知某点

???0?2??x/?初相?0的前提下，根据两点间的相位差????0，即可确定未知点的

?初相?0。

1习题4.8已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?s时的波形如题图所示，

3且周期T为2s.

（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

解：由图可知A=0.1m，λ=0.4m，由题知T= 2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O点的初始相位。 （1） 由上式可知：O点的相位也可写成：φ=πt+Ф0

习题4.8图

1由图形可知： t?s时y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3，

32?1?????0 所以?0? 将此条件代入，所以：333O点的振动表达式y=0.1cos［πt+π/3］m

（2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m （3）A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知：

A点的相位也可写成：φ=πt+ФA0

1由图形可知： t?s时y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2，

3?15?将此条件代入，所以：?????A0 所以?A0??

236A点的振动表达式y=0.1cos［πt-5π/6］m

（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，与（3）结果相同，所以： y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］

可得到：xA?7?0.233m 30习题4.10 一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。

解：(1) 由图可知A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos（ωｔ＋φ） t=0s时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ=?习题4.10图

? 3 t=1s时 y=0 v<0 可知其相位为φ1=

? 2 代入振动方程， φ=??? ω＋φ= 32可得：ω=

5? T=2π/ω=12/5 65??ｔ-）cm 63 则 y=0.5cos（

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