2010年高考试题——数学文(四川卷)解析版无水印(4)

1?ax设f(x)?（a?0且a?1），g(x)是f(x)的反函数.

1?ax（Ⅰ）求g(x)；

（Ⅱ）当x?[2,6]时，恒有g(x)?logat成立，求t的取值范围； 2(x?1)(7?x)1

（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+?+f(n)与n?4的大小，并说明理由.

2

解：(1)由题意得：ax＝

y?1＞0 y?1故g(x)＝loga(2) 由logax?1，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)????????3分 x?1w_w w. k#s5_u.c o*mx?1t?loga2得 x?1(x?1)(7?x)

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①当a＞1时，

x?1t＞0 ?2x?1(x?1)(7?x)又因为x∈[2,6],所以0＜t＜(x－1)2(7－x)

令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7, x∈[2,6] 则h'(x)＝－3x2＋18x－15＝－3(x－1)(x－5) 列表如下： x h'(x) h(x) 2 5 (2,5) ＋ ↗ 5 0 极大值32 (5,6) － ↘ 6 25 所以h(x)最小值＝5， 所以0＜t＜5 ②当0＜a＜1时，0＜

x?1t ?2x?1(x?1)(7?x)又因为x∈[2,6],所以t＞(x－1)2(7－x)＞0

令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7, x∈[2,6] 由①知h(x)最大值＝32, x∈[2,6] 所以t＞32

综上，当a＞1时，0＜t＜5；当0＜a＜1时，t＞32.????????9分

(3)设a＝

1，则p≥1 1?p2≤3＜5 pw_w w. k#s5_u.c o*m当n＝1时,f(1)＝1＋当n≥2时

*

设k≥2，k∈N 时

1?ak22则f(k)＝ ?1??1?kk122kk1?a(1?p)?1Ckp?Ckp???Ckp所以f(k)≤1＋

4424?＝1＋＝1＋ 12kk?1Ck?Ckk(k?1)44?＜n＋1 2n?1从而f(2)＋f(3)＋??＋f(n)≤n－1＋

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋??＋f(n)＜f(1)＋n＋1≤n＋4

综上，总有f(1)＋f(2)＋f(3)＋??＋f(n)＜n＋4????????14分

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w_w w. k#s5_u.c o*m

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