2010年高考试题——数学文(四川卷)解析版无水印(2)

OM2?ON2?MN217?于是cos∠MON＝

2OM?ON25所以M、N两点间的球面距离是Rarccos答案：A 二、填空题(13)(x－

w_w w. k#s5_u.c o*m17 25

24

)的展开式中的常数项为______________(用数字作答) x2rr4?r解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝C4x(?)

x 取r＝2得常数项为C42(－2)2＝24

w_w w. k#s5_u.c o*m答案：24

(14)直线x?2y?5?0与圆x2?y2?8相交于A、B两点，则?AB?? . 解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为22

w_w w. k#s5_u.c o*m圆心到直线x?2y?5?0的距离为d＝|0?0?5|1?(?2)22?5 故?|AB|??????????2?? ?得|AB|＝23 答案：23

（15）如图，二面角??l??的大小是60°，线段AB??.B?l，

??B?A?AB与l所成的角为30°.则AB与平面?所成的角的正弦值是 . 解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D

连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，

故∠ADC为二面角??l??的平面角，为60° 又由已知，∠ABD＝30°

连结CB，则∠ABC为AB与平面?所成的角 设AD＝2，则AC＝3，CD＝1

w_w w. k#s5_u.c o*m??B?AC D ?AB＝

AD＝4

sin300∴sin∠ABC＝

AC3? AB4

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答案：

34w_w w. k#s5_u.c o*m

（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y?S，都有x?y,x?y,xy?S，则称S为封闭集。下列命题：

①集合S＝{a＋bi|（a,b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；

w_w w. k#s5_u.c o*m②若S为封闭集，则一定有0?S； ③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集.

其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 解析：直接验证可知①正确.

当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确 对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误

取S＝{0}，T＝{0,1}，满足S?T?C,但由于0－1＝－1?T，故T不是封闭集，④错误

答案：①②

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内

w_w w. k#s5_u.c o*m印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

w_w w. k#s5_u.c o*m16

解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)＝P(B)＝P(C)＝

16w_w w. k#s5_u.c o*m

536125 216C)＝P(A)P(B)P(C)＝()?P(A?B?答：三位同学都没有中奖的概率为

125??????????????6分 216(2)1－P(A·B·C＋A·B·C＋A·B·C＋A·B·C)

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＝1－3×()??()?1256613625 2725 27或P(A?B?C＋A·B·C＋A·B·C＋A·B·C)＝答：三位同学至少两位没有中奖的概率为

25. 27w_w w. k#s5_u.c o*m（18）（本小题满分12分）

在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.

D?（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线； C?（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小； A?B?

?O

M?D C

AB

w_w w. k#s5_u.c o*m

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本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK 因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点 所以AM//1DD'//OK 2所以MO//AK

由AA’⊥AK，得MO⊥AA’

因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’ 所以AK⊥BD’ 所以MO⊥BD’

又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线????6分

（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’ 过点N作NH⊥BC’于H，连结MH 则由三垂线定理得BC’⊥MH

从而,∠MHN为二面角M－BC’－B’的平面角

w_w w. k#s5_u.c o*mMN＝1,NH＝Bnsin45°＝?122? 224

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在Rt△MNH中，tan∠MHN＝

MN1??22 NH24故二面角M－BC’－B’的大小为arctan22????????????????12分 解法二：

以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D－xyz

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1) (1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0,

1111),O(,,) 2222?????11?????????OM?(,?,0),AA'＝(0,0,1),BD'＝(－1,－1,1)

22???????????????????11OM?BD'???＋0＝0 OM?AA'＝0,

22所以OM⊥AA’,OM⊥BD’

又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.????????????6分

??(2)设平面BMC'的一个法向量为n1＝(x,y,z)

w_w w. k#s5_u.c o*m??????????1BM＝(0,－1,), BC'＝(－1,0,1)

2???????1????y?z?0?n1?BM?0 即? ?2??????????n1?BC'?0??x?z?0??取z＝2,则x＝2,y＝1，从而n1＝(2,1,2) ???取平面BC'B'的一个法向量为n2＝(0,1,0) ??????????n?n211??cos?n1,n2????1??? |n1|?|n2|9?13由图可知，二面角M－BC'－B'的平面角为锐角故二面角M－BC'－B'的大小为arccos（19）（本小题满分12分）

w_w w. k#s5_u.c o*mw_w w. k#s5_u.c o*m

1??????????????????12分 31证明两角和的余弦公式C（Ⅰ）○???:cos(???)?cos?cos??sin?sin?； 2由C ○???推导两角和的正弦公式S???:sin(???)?sin?cos??cos?sin?.

（Ⅱ）已知cos???431?,??(?,?),tan???,??(,?),cos(???)，求cos(???) 5232

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