2010年高考试题——数学文(四川卷)解析版无水印(3)

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ) ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.????????4分

w_w w. k#s5_u.c o*m??－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα 22??sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

22?? ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

22②由①易得cos(

＝sinαcosβ＋cosαsinβ??????????????6分

43π

(2)∵α∈(π,),cosα＝－

25

- 11 -

∴sinα＝－

3 51π

∵β∈(，π),tanβ＝－

23 ∴cosβ＝－31010,sinβ＝ 1010 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝(－

4331010)×(－)－(－)×551010w_w w. k#s5_u.c o*m

＝310 10

（20）（本小题满分12分）

w_w w. k#s5_u.c o*m已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

w_w w. k#s5_u.c o*m（Ⅱ）设bn?(4?an)qn?1(q?0,n?N*)，求数列{bn}的前n项和Sn

解：(1)设{an}的公差为d ，由已知得

- 12 -

?3a1?3d?6 ??8a1?28d??4解得a1＝3,d＝－1

故an＝3－(n－1)(－1)＝4－n????????????????5分

－

(2)由(1)的解答得，bn＝n·qn1，于是

－

Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋??＋(n－1)·qn1＋n·qn. 若q≠1，将上式两边同乘以q，得

＋

qSn＝1·q1＋2·q2＋3·q3＋??＋(n－1)·qn＋n·qn1. 将上面两式相减得到

－

(q－1)Sn＝nqn－(1＋q＋q2＋??＋qn1)

w_w w. k#s5_u.c o*mqn?1 ＝nq－

q?1n

nqn?1?(n?1)qn?1于是Sn＝ 2(q?1)若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋??＋n＝

n(n?1) 2?nqn?1?(n?1)qn?1(q?1)?2?(q?1)所以，Sn＝???????????????12分

?n(n?1)(q?1)??2

（21）（本小题满分12分）

w_w w. k#s5_u.c o*m已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分

别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

12

- 13 -

解：(1)设P(x,y)，则(x?2)?y?2|x?221| 2y2化简得x－＝1(y≠0)????????????????????????4分

32

(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)

y2与双曲线x－＝1联立消去y得

32

w_w w. k#s5_u.c o*m(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0

- 14 -

由题意知3－k2≠0且△＞0 设B(x1,y1),C(x2,y2)，

?4k2x?x???12k2?3则?

2?xx?4k?312?k2?3?y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]

4k2?38k2? ＝k(2＋4)

k?3k2?32

?9k2

＝2

k?3

w_w w. k#s5_u.c o*m因为x1、x2≠－1 所以直线AB的方程为y＝

y1(x＋1) x1?1因此M点的坐标为(

3y11) ,22(x1?1)?????????3y13y233FM?(?,),同理可得FN?(?,)

22(x1?1)22(x2?1)?????????9y1y232因此FM?FN?(?)?

22(x1?1)(x2?1)?81k24k2?3 ＝? 224k?34k94(2??1)k?3k2?3w_w w. k#s5_u.c o*m ＝0

②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)

?????1333AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(,)，FM?(?,)

2222????33同理可得FN?(?,?)

22?????????3233因此FM?FN?(?)??(?)＝0

222?????????综上FM?FN＝0，即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F??????????????????12分

（22）（本小题满分14分）

w_w w. k#s5_u.c o*m

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