第五章资产组合理论与资本资产定价模型

第五章 资产组合理论与资本资产定价模型

概述

? 现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的《投资组合选择》为标志 ? 1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（Capital asset pricing model， CAPM）

? 1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。

? 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficient market hypothesis，EMH） 8.1 资产组合理论 ? 基本假设

（1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio） （2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。

（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。 （4）投资者希望持有有效资产组合。 8.1.1 组合的可行集和有效集 ? 可行集与有效集

? 可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资

产可构造出的所有组合的期望收益和方差。 ? 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平下的具有最高收益

的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。

? 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界（ Efficient frontier）,

它是有效组合的集合（点的连线）。

两种风险资产构成的组合的风险与收益

? 若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为

rp?w1r1＋w2r2

22222 ?p＝w1?1?w2?2?2w1w2?12 2222＝w??w??2w1w2?1?2?121122

由于w1＋w2?1，则

rp(w1)?w1r1＋(1?w1)r2 2222?p(w1)＝w1?1?(1?w1)?2?2w1(1?w1)?1?2?12

由此就构成了资产在给定条件下的可行集！

? 注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1

? 因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。

? 其他所有的可能情况，在这两个边界之中。 8.1.2 两种完全正相关资产的可行集 组合的风险－收益二维表示

1

收益rp

.

风险σ

p

两种资产完全正相关，即ρ12 ＝1，则有

?p(w1)＝w1?1?(1?w1)?2

rp(w1)?w1r1＋(1?w1)r2

当w1＝1时，?p＝?1，rp?r1 当w1＝0时，?p＝?2，rp?r2

所以，其可行集连接两点

（r1，?1）和（r2，?2）的直线。

? 命题8.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。 ? 证明：由资产组合的计算公式可得 ?p(w1)?w1?1?(1?w1)?2 则 w1?(?p－?2)/(?1??2) 从而 rp(?p)?w1r1?(1?w1)r2 ?((?p－?2)/(?1??2))r1?(1?(?p－?2)/(?1??2))r2 r?r2r?r?r2?1?2?12?p ?1??2?1??2 故命题成立，证毕。

两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。

收益 Erp (r1,?1)(r2,?2) 8.1.3 两种完全负相关资产的可行集

? 两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，则有 ?(w)=w??(1?w)?－2w(1?w)?? ?|w??(1?w)?|r(w)?wr＋(1?w)r

? 当w?时,??0???

? 当w?时，?(w)=w??(1?w)?p1212121221111112p1112121p1221风险σp 2?1??2?2?1??2p11112

当w1?时，?p(w1)=(1?w1)?2?w1?12

命题8.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。

证明： 当w?21?

?时1??2 ?p(w1)?w1?1?(1?w1)?2，则可以 得到w1?f(?p)，从而

r?p??p?=

?p??2?r??p??21???1???r1??2??1??2?2 =r1?r2?r1?r2?1???p2?1???2?r2

2

同理可证? 当w21??时,

1??2

?p(w1)?(1?w1)?2?w1?1，则 rr?r2r?r

p(?p)??1??p?12??2?r21??21??2

命题成立，证毕。

两种证券完全负相关的图示

收益r(r1,?1)p

r1?r2??2?r21??2(r2,?2)风险σ

p

8.1.4 两种不完全相关的风险资产的组合的可行集

当1????1时 rp(w1)?w1r1＋(1?w1)r 2

?w2222p(1)＝w1?1?(1?w1)?2?2w1(1?w1)?1?2?12

尤其当?＝0时

?(w＝w2222p1)1?1?(1?w1)?2

这是一条二次曲线，

事实上，当1????1时，可行集都是二次曲线。 3

总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集

收益Erp

r1?r2(r1,?1)由图可见，可行集的弯曲程度取决于相关系数?12。随着?12的增大，弯曲程ρ=1 ?22度增加；当?12＝－1时，呈现折线状，也就是弯曲度最大；当?12＝1时，弯曲度最小，也就是没有弯曲，则为一条直线；当1??12??1，就介于直线和折线之间，成为平滑的曲线，而且?12越?1???r2(r2,?2)ρ=0 风险σp 大越弯曲。ρ=-1 3种风险资产的组合二维表示

? 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。

收益rp

4 2 3 1 风险σp

n种风险资产的组合二维表示

类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。

收益r

p

风险σ

p

总结：可行集的两个性质

1. 在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域 2. 可行区域是向左侧凸出的

? 因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。

不可能的可行集

4

收益rp B A

8.1.5 风险资产组合的有效集

? 在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合； ? 由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。 ? 整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如：自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如Ｐ，与可行集内其它点所对应的投资组合（如Ａ点）比较起来，在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与Ｂ点比较起来，在相同的收益水平下，Ｐ点承担的风险又是最小的。 总 结

A、两种资产的可行集

? 完全正相关是一条直线 ? 完全负相关是两条直线 ? 完全不相关是一条抛物线

? 其他情况是界于上述情况的曲线

B、两种资产的有效集

? 左上方的线

C、多个资产的有效边界

? 可行集：月牙型的区域 ? 有效集：左上方的线

8.2 马科维茨模型

（n项风险资产组合有效前沿）

n ? 2假定1：市场上存在 种风险资产，令 , w 2 , n) T 代表投资到w?(w1?,w这n种资产上的财富的相对份额，则有：

n

?wi?1 i?1且卖空不受限制，即允许 0wi?风险σ

p

5

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