结构力学答案部分(5)

?M?x??1?(1?0)

lx给Mi以虚变化?Mi?1 虚应力为 ????＝虚余功：?W?＝?i?1

?M?x?Iy

虚余能：?V*＝?（真实应变）?（虚应力）d?

?????1EI1EIM?x??M?x?yydxdydz EII??2?l0l0M?x??M?x?dx?Ay2dA

j??Mi??Mi?M?1?x/l?dx ?x/l????

Qi?1??M?Mj??i3EI?2?l

同理：给Mj以虚变化?Mj?1，??Mi?0?可得（将i换为j）

?j??Mi???Mj??3EI?2?l

3）方法三 矩阵法（柔度法） ??i??Mi???Mi?设??????,?p????，虚力??p????,?????p????

?M?Mj??j??j?? ??????M?x?Iy??Mi??Mi?MI?yy?x/l??j?Ix?1??l??x??Mi?????c??p? ?l??Mj?式中?c??y??x??x??1??,??????I??l??l??（不妨称为物理矩阵以便与刚度法中几何矩阵

?B?对应）

??Mi?? ?Mj???1虚应力??????c???p???c???1实应变?????D??????D??C??p?

虚余功 ?W*??????p????p???????i?Mi??j?MTTj?

虚余能 ?V*?????????d??????????d?

??TT

????p??C??D??C??P?d????p??TT?1T??T?1???C??D??C?d???p? ???于虚力原理：?W*??V*考虑到虚力??p?的任意性。得： ?????p???C??D???A??? p??C?d?T?1式中 ?A????C??D??C?d?——柔度矩阵（以上推导具有普遍意义）

?T?1对本题：

x??1??y??y?x??l?1??????I?x?EI??l???l???2??x???1??ll?x?1????d???l?EI0?x?x???1???l??l???A????x?x????1???l?l??dx2??x??????l??

?由

1?l/3?l/?6l???EI??l/6l/3?3EI????1?1/21?/2? ?1????A??p?展开得： ??i?l ?????j?3EI?1/?2?Mi??1???M? ?1/21???j?6.3题

方法一 单位位移法

???uj?ui?/l ， ??E??E?uj?ui?/l

ui/l??1/l设 ?ui?1，则 ?????

Ti?1???l?uEj?ui???1/l?d???EAl2??u0lj?ui?dx?EAl?ui?uj?

同理，令?uj? 可得

Tj?1???l?uEj?ui??1/l?d??EAl?uj?ui?

?Ti?EA?1即：????Tlj??1???1??ui???? 可记为 1??uj??p???K????

ijij?K?为刚度矩阵。

方法二 矩阵虚位移法 设?pij????TiTj??T ??i???j?u1iu??jT

? {?}??uj?ui?1l?ui?/l???1??1???l?uj??B??????j i?式中 ?B????11?——几何矩阵

? ?????D??????D??B???ij?

设虚位移

??ij?????uiT?uj??T ， 虚应变 ??????B????ij?

T外力虚功 ?W??pij?????ij?????ij???p?

ij虚应变能 ?V?????????d??????????d? ?TT????i???????B??D??BjTTij d?d??? ????i??????B??D??Bj???T?T??

ij ????i?K???j??

ij由 ?W??V 得： ?pi???K???jT?

ijd——刚度矩阵 式中 ?K????B??D???B??1??1?1EA?1对拉压杆元 ?K??EA?????11?dx??l?1?ll??1l?1?? 详细见方法一。 1?方法三 矩阵虚力法 设 ?pij??Ti??ui???? ， ??ij???? ， ?????D???? ?Tj??uj?Tj?TiA1A?1? ?????Ti????11?????C??pij? A?Tj?11?——物理矩阵（指联系杆端力与应力的系数矩阵）

?1 式中 ?C???

??1 ?????D??????D??C??pij? 虚应力 ??????C???pij?

??Ti??1??? ， 则 ??????D??C???pij? ??Tj? 设虚力 ??pij? 虚余功 ?W*???ij?T??pij????pij??TT?1T???

ij 虚余能 ?V*?????????d??????????d?

?TT ?

p??C??????p??C??Dij?ij?d

?T???pi?C??j?????D???1?Cd??????p

ij ???pij??A??pij? 式中

A????C???C??D?T?1?d ——柔度矩阵

?1?? 1?对拉压杆： ?K???

AE?l1??1?1l?1?11dx??????A?1?AEA??1 ??i???A??pj?

ij?ui?l?1 即 ????uEAj??1???1??Ti???? 1??Tj?讨论： 比较方法二、三。

结论： ?pij???K???ij?， ??i???A??pj?

ij?1若 ?K?与?A?的逆矩阵存在（遗憾的是并非总是存在），则，?K?实际上是一个柔度矩阵，?A?实际上是一个刚度矩阵

6.5题

1）6.30如图所示 设vx??2n?x??a1?cos?n??

l??n?1??1

显然满足x?0,x?l处的

变形约束条件

v?0??v?l??0v?0??v?l??0''

EI?2n?x??2n??acos??n??dx ??02l???n?1?l??l?22变形能 V?EI2?l0(v)dx?''2?2n??l ? a???2n?1?l?2EI2n?4力函数 ??pv?c??pv?l?c??2pv?c?（对称） ?2p?an??1?cosn?1??2n?c??l?

EIl22n?l2n?c??4)?2p?1?cos?

l??由

??V????an?0 ，所以

?V?an????an 。即

an(所以， an?pl43pl344EI??2n?c???1?cos?l???4n

v?x??4?EI?n?11?2n?c??2n?x?1?cos1?cos??? 4?n?l??l? 2）6.40如图所示

?设v?x??a0x??ansinn?1n?xl

2?EI??n?x?EI?n???v?l???V??asindx????n????20?ll?2A2??n?1??l?22l?a0l?2?n???an?l?2?2A

??n?1?42 ??pU?c??p?ansinn?1n?cl?a0pc

由

??V????a0?0

得 a0l2/A?pc ， 所以，a0?Apc/l2 由

??V????an4?0， 得

32plEIl?n??n?ca? 所以，a?psinn??n2?l?lEI?n??4sinn?cl

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