静力学基础(4)

正交坐标轴分解，则得如图8.24(d)所示结果。

图8.24 固定端受力简化

(a) (b) (c)

图8.25 杆横截面内力简化

FiF2F1F2F1q又如图8.25(a)所示，直杆受空间外力系作用，杆中任意垂直于轴的横截面亦受到一个空间分布力系作用，并与外力系相平衡，如图8.25(b)所示；为了最终求出该空间分布力系，可先将此力系向横截面形心O简化，再将所得合力与合力偶沿坐标轴正交分解，由平衡条件求得横截面上的内力分量，如图8.25(c)所示。我们把沿轴线y的分力线垂直的两个分力Fox和Foz称为剪力；沿轴线的分力偶力偶Mox和Moz叫弯矩。

Foy称为轴力，与轴

Moy叫扭矩，与轴线垂直的两个分

8.3.3 力系的最简形式

一般力系向任意点简化，一般可以得到作用在简化中心的一个力和一个力偶。试问该结果包含哪些特殊情形？能否进一步简化？根据原力系对于简化中心的主矢和主矩可能出现的几种不同情况讨论如下：

(1) 若FR?0且MO?0，则原力系与零力系等效，原力系处于平衡。

(2) 若FR?0，而MO?0，则原力系与一力偶等效，可简化为一个力偶。由于力偶矩对刚体是自由矢量，所以当力系主矢为零时，其主矩与简化中心位置无关，该力系本质上是一个力偶系，其最简结果是一个力偶。

(3) 若FR?0，而MO?0，则原力系简化为作用在简化中心O的一个力。这显然是最简形式，当简化中心的位置不在该合力线上时，原力系的主矢和主矩均不为零。

(4) 若FR?0，且MO?0，则原力系简化为作用在简化中心O的一个力和一个力偶。这种情形一般还可以进一步简化：

① 若FR?MO(见图8.26)，即FR?MO?0，则进行如图1.26所示的等效变换后，力系

?。显然，这是最简形式。矢量 进一步简化为作用在另一简化中心O1处的一个力FROO1?FR?MOFR2；若在O点建立直角坐标系Oxyz，设点P(x,y,z)为合力作用线上的任一点，

则合力作用线方程为

F FFRx?Ry?Rz

x?xO1y? yO1z?zO1

(1-20)

(1-20)

图8.26 主矢与主矩正交简化为合力

图8.27 主矢与主矩平行简化为力螺旋

② 若FR∥MO(见图8.27)，则力FR平移产生的附加力偶总是与MO相垂直，二者不能互相抵消，因此，向简化中心简化所得的结果已是最简形式，称之为作用在简化中心的力螺旋。从这个意义上说，力螺旋如同力和力偶，也是一种基本力学量。

工程中的力螺旋实例很多，如用起子拧螺钉，用电钻钻孔等，螺钉、电钻所受的合力系都是力螺旋。

(a) (b) (c)

图8.27 主矢与主矩斜交简化为移动力螺旋

③ 当FR不垂直也不平行于MO(见图8.27 (a))时，将MO分解为与FR方向平行与垂直

的两个分量，即MO?MO??MO//，先将FR与MO?按情形①简化为作用在O?点处的一个

?，如图8.27 (b)所示；最后将MO//移至O?处，按情形②构成一个作用在点O?处的力螺力FR旋，如图8.27(c)所示。力螺旋中力的作用线称为力螺旋的中心轴，在以O为原点的直角坐标系中，其作用线方程为

力偶矩MO//可写为 其中

FFRxF?Ry?Rzx?xO?y?yO?z?zO?

MO//?pFR F?Mp?R2OFR

(1-21)

(1-22)

p为力螺旋参数，完全由力系的主矢与主矩确定。

综上所述，一般力系简化的最简形式有平衡、合力偶、合力、力螺旋四种情形。力系的主矢与主矩是否正交，是判断某力系能否进一步简化成一个力的条件。

问题8-6 图示力系(各力大小相等)，沿正方体棱边作用，试问该力系向O点简化的结果是什么？

答 三力向O点平移后，合力与合力偶矩矢均沿对角线OA方向，此力与力偶组成一力螺旋。

?F4AD?常数，1AB?F2BC?FCD3问题8-7 如图所示圆板受4个力作用，且乘积F试求该力系的合力作用线。

答 因为

?MO(Fi)?F3ODsin??FOBsin??sin?(F3OD?FOB)， 11F1CDOD??FABOB 而 3M(F)?0，故合力线必过O点。 得 ?Oi同理可得

思考8-7 ① 空间汇交力系、空间力偶系、平面一般力系、空间平行力系能够简化为力螺旋吗?空间一般力系简化为合力或合力偶的条件分别是什么？

② 若某空间力系向不共线的三点A,B,C简化主矩相同，试问该力系的最简形式如何？ ③在图8.25的杆中取出一个边长为?的正方体，将每个正方形面上的力系向其中心简化，保留一阶微量后的受力情形如何？试画出简化结果。

例1.1 试求图(a)所示平面力系的简化结果。 解 选O点为简化中心，则主矢大小为

?MF1O1(Fi)?0，故合力线必过O1点。故合力作用线为OO1直线。

zAF4F3DAOF3?COF1yBF2xF2O1问题8-6图 问题8-7图

43FR?(?Fx)2?(?Fy)2?(500?500?)2?(500??200?100)2?100 (N)55

方向沿x轴正向。而主矩

3MO??MO(Fi)??500?0.8?100?2?500??2.6?180 (N?m)5 (?)

故该平面力系向O点简化结果如图(b)所示，而最简结果为作用在O1点的一个力，如图(b)

中虚线所示。 O

zy500N100N2m200N

0.6m3x500NO1180Nm100NDF2F3bcyF1100NxO4a (a) (b)

例1.1图 例1.2图

例1.2 如图所示，沿长方体不相交且不平行的棱上作用三个大小等于F的力。问棱长a，b，c满足什么关系时，该力系能简化为一个力，并求该力的作用线方程。

解 选图示坐标原点O为简化中心，则 令 即

?F?F, ?F?F, ?F?F?M?Fb?Fc, ? M??Fa, ?Mxyzxyz?0FR?MO?(?Fx)??Mx?(?Fy)??My?(?Fz)??Mz?0

F(Fb?Fc)?F(?Fa)?F?0?0

故

b?c?a?0

时，该力系可简化为一个力。

设(x,y,z)为该力作用线上任一点，其矢径为r，则由r?FR?MO，有

比较上式两边i,j,k系数，并将b?c?a?0代入，得

ijkxyz?F(b?c)i?FajFFF

?x?y?0??z?x?a?0

为所求合力作用线方程。

§8.4 物体的重心

图8.28 物体的重心

由物理学知道，忽略地球转动影响时，地球上物体中的每个微小质量部分均受到指向地球中心的万有引力即重力作用。由于地球半径很大，故这组引力可视为平行力系，平行力系可简化为一合力，该合力作用点就是物体的重心。

如图8.28所示，设任一个质量微团的位置矢径为ri，所受重力为Gi，重心C的位置矢径为rC，总重力为

由合力矩定理得

G??GirC?G??ri?Gi

(1-23)

即

rC?Gk??ri?Gik ( k为z轴的单位矢量)

故

(GrC??Giri)?k?0

由于坐标方向k的任意性，故

GrC??Giri?0

或

r ? G iriC G式在图8.28所示正交坐标轴上投影，得重心位置的直角坐标公式

?(1-24)

此即物体重心位置的矢径公式，可理解为物体各重量微团位置的加权平均值。将(1-24)

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