静力学基础(2)

衡，相应变形体(软绳)受同样压力却不平衡。

还应指出，在小变形条件下，求变形体的外力和内力时，均在未变形状态对变形体刚化，这既简化计算，也符合工程精度要求。如图8.10所示，求力FB大小时，将直杆AB刚化，不计?与? 1,? 2的微小位移影响。

问题8-2 试确定图(a)所示砖夹中间两块砖之间及图(b)中完全对称的人字梯两边在B处的相互作用力方向。

F

(a) (b)

问题8-2图

答 由对称性知，图(a)中间两块砖之间的摩擦力必为零(若不为零，则据公理4知两边摩擦力方向一个向上，另一个向下，出现不对称受力情况，这不可能出现)。同理推知，图(b)中梯子两边在B处相互作用力方向必为水平。

思考8-3 二力平衡条件、加减平衡力系原理、作用与反作用定律、力的平行四边形法则、力对刚体的可传性、三力平衡汇交定理，哪些只适用于刚体？哪些适用于变形体?哪些二者均适用？

§8.2 力的投影、力矩与力偶

力对被作用物体是定位矢量，力对刚体是滑移矢量，二者均符合一般矢量的运算法则和性质。注意到矢量代数中所讨论的是既可滑动又可平移的自由矢量，可直接得出力的几个基本矢量性质。

8.2.1 力的投影

1 力在平面上的投影是矢量

如图8.11所示，力F在平面xOy上的投影

Fxy仍为矢量，其模为

Fxy?F cos?（1-2）

(1-2)

z3Ok2ij4FCyx图8.11 力的投影 图8.12 长方体顶面力的投影

2 力在轴上的投影是标量 如图8.11所示，将

Fxy向x轴投影，得有向线段Fx，由矢量在轴上投影的定义可知，Fx为力F在x轴上的投影。由此可得力在轴上投影的如下两种方法： (1) 直接投影法。若已知力F与x轴正方向的夹角?，则

（1-3） Fx?F cos?

(2) 两次投影法。若已知力F与轴所在平面的夹角?，且此力在平面上的投影与x轴夹角为?，则

Fx?Fcos（1-4） ?cos?(1-4)

如图8.12所示，力F作用在棱长为2，3，4的长方体顶面上，则F在x，y，z三个坐标轴上的投影分别为

34Fx?F, Fy??F, Fz?055

在直角坐标系中，

F?Fxi? Fyj?Fzk（1-5）

(1-5)

式中i,j,k为相应坐标轴正方向的单位矢量。

34F?Fi?Fj55。 图8.12中

顺便指出，力在某轴上的投影也可表示为力与该轴单位矢量的标积，如Fx?F?i。 思考8-4 如何求图8.12中力F在OC轴上的投影？

3 合力投影定理

将图8.2中汇交力系合成的力多边形置于直角坐标系Ｏxyz中，则

Fi?Fixi?Fiyj?Fizk (i?1,2,?,n)FR?FRxi?FRyj?FRzk

将它们代入式(1-1)中，并比较等式两边i,j,k系数得(以下均略去求和号下的下标i)

FRx??Fx, FRy??Fy, FRz??Fz

此即合力投影定理：合力在某轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

合力的大小为

FR?(?Fx)2?(?Fy)2?(?Fz)2方向余弦为

?Fx?cos(F,i)??RFR??Fy???cos(FR,j)?FR??F?cos(FR,k)??zFR??

思考8-5 力沿两坐标轴的分量是否等于该力在相应坐标轴上的投影?

1.2.2 力矩

一般说来，力对刚体有移动效应，也有使刚体绕某点(或轴)转动的效应，例如汽车的挡位操纵杆，如图8.13(a)所示，力的这种转动效应的度量，叫力矩。

FABFM0(F)OAr O(a) (b) (c)

图8.13 力对点之矩

1 力对点之矩是矢量

如图8.13(b)所示，力F作用在刚体上A点，支点O到A点的矢径为r。实验证明，力使刚体绕矩心O点转动的效应取决于下列三要素：

(1) 力矩的大小：

矩心法向轴转动。

(3) 力矩的转向：力使刚体绕该矩心法向轴转动的方向，它符合右手螺旋法则，如图8.13(c)所示。可见，力F对O点之矩可表示为r与F的叉积

2 力对轴之矩是代数量

如图8.14所示，考察力F对z轴之矩：过作用点A作平面S垂直于z轴，交z轴于O点，再将F正交分解，且分力F1平行于z轴，由力的等效原理得

M0(F) ?r?F（1-7）

(1-7)

M0?rF sin(r,F)(1-6)（1-6）

(2) 力矩的方位：即力F与矩心O确定的平面在空间的方位，力矩使刚体绕该平面的

显然，力对点之矩与矩心位置相关，是定位矢量，它从矩心O作出，见图8.13(b)。

Mz(F)?Mz(F1)?Mz(F2) M(F)?0, F2?Fxy

因 z1M(F)?Mz(Fxy) (1-8)

故 z其中，Fxy是F在S平面内的投影。由此定义：力对轴之矩等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与平面交点之矩。

图8.14 先投影，再取矩 图8.15 先取矩，再投影

F在图8.14中，分力F1对O点之矩并不为零，而对z轴之矩却等于零，能否先求出M0(F)，再由此来求Mz(F)呢？为此，考察如图8.15所示一般情形，试求力F对任意z轴之矩

Mz(F)，不妨在z轴上任取一点O，并以O为原点建立图示坐标系，有

r?xi?yj?zkF?Fxi?Fyj?Fzk

则

MO(F)?MOxi?MOyj?MOzk?r?Fijk?xyz?(yFz?zFy)i?(zFx?xFz)j?(xFy?yFx)kFxFyFz

可见，力矩MO(F)在x，y，z三轴上的投影分别为

[M0(F)]x?yFz?zFy[M0(F)]y?zFx?xFz[M0(F)]z?xFy?yFx Mx(F)?[MO(F)]xMy(F)?[MO(F)]yMz(F)?[MO(F)]z (1-9)

由上述力对轴之矩的定义可知，上式右端就是力F对相应轴之矩，即

即力对轴之矩等于此力对该轴上任一点之矩在该轴上的投影。 在实际运算中，常常根据具体情况选用这两种求力对轴之矩的方法。如图1.16所示，已知长方体棱长为a，b，c，力F沿端面对角线方向，试求

Mx(F)??Mx(F)，

Facb2?c2My(F)，

图8.16 力对轴之矩实例

Mz(F),MAC(F)。

由式(1-8)可得

My(F)?0 (因为力F作

用线与y轴相交)

Mz(F)?Fabb2?c2

由式(1-9)可得

MAC(F)?[MC(F)]AC?Fabca2?b2?c2?b2?c2注意 在计算力对某轴之矩时，力沿作用线滑移后，对该轴之矩不变；力的作用线与某轴平行或相交时，该力对该轴之矩为零；按右手法则表示力矩方向，大拇指与坐标轴正向一致时，力对轴之矩为正，反之为负。

3 合力矩定理

设F1,F2,?,Fn为汇交力系，FR为其合力，矩心O至汇交点A的矢径为r，则 故

MO(F)?r?FR?r??F?r?Fi??MO(Fi) i?MO(FR)? ?MO(Fi)

（1-10）

此即合力矩定理：合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。

将(1-10)式在任意x轴上投影，并注意到(1-9)式，便得到对于该轴的合力矩定理

Mx(FR)?? Mx(Fi)（1-11） (1-11)

即合力对任意轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。

事实上，上面叙述力对轴之矩的定义时(见图8.14)，已应用了这一定理。

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