运筹学习题集(2)

9、考虑如下线性规划

（1）写出对偶规划。

（2）用单纯形法解对偶规划，并在最优表中给出原规划的最优解。 （3）说明这样做比直接求解原规划的好处。 10、用对偶单纯形方法，求解下面问题

minf?5x1?2x2?4x3maxZ??x1?2x2?3x3?2x1?x2?x3?43x?x?2x?4?123?（1）? （2）?x1?x2?2x3?8s.t.?s.t.?6x1?3x2?5x3?10?x2?x3?2?x,x,x?0?123?x,x,x?0?123

maxZ?2x1?2x2minf??x1?2x2?x3??x1?x2?x3?2?2x1?x2?x3??4.（3）s。t? （4）?

?2x?x?x?1s.t.x?2x?6??11232?x,x,x?0?x,x,x?0?123?12311、某工厂生产过程中需要长度为 3.1 米、2.5 米和 1.7 米的同种棒料毛坯分别为 200 根、100 根和 300 根。现有的原料为 9 米长棒材，问如何下料可使废料最少？

12、某企业生产3种产品甲、乙、丙，产品所需的主要原料有A、B两种，原料A每单位分别可生产产品甲、乙、丙底座12、18、16个；产品甲、乙、丙每个需要原料B分别为13kg、8kg、10kg，设备生产用时分别为10.5、12.5、8台时，每个产品的利润分别为1450元、1650元、1300元。按月计划，可提供的原料A为20单位，原料B350kg，设备月正常的工作时间为3000台时。建立实现总利润最高的数学模型(不需要计算结果)。

13、一动物园为动物调配食谱，设每只动物平均每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素，现有五种食物可供选用，各种食物每千克营养成分含量及单价如下表所示：

4

食 物 1 2 3 4 5 蛋白质（克） 3 2 1 6 18 矿物质（克） 1 0.5 0.2 2 0.5 维生素（毫克） 单价（元/千克） 0.5 1 0.2 2 0.8 0.2 0.7 0.4 0.3 0.8

要求确定既满足动物的营养需求，又使费用最省的食谱方案。

14、某工厂生产甲、乙、丙三种产品，单位产品所需工时分别为2、3、1个工时；单位产品所需原材料分别为3、1、5公斤；单位产品利润分别为2元、3元、5元。工厂每天可利用的工时为12个，可供应的原材料为15公斤。

试确定使总利润为最大的日生产计划和最大利润。

若由于原材料涨价，使得产品丙的单位利润比原来减少了2元，问原来的最优生产计划变否？若不变，说明为什么；若变，请求出新的最优生产计划和最优利润。

在保持现行最优基不变的情况下，若要增加一种资源量，应首先考虑增加哪种资源？为什么？单位资源增量所支付的费用是多少才合算？为什么？ 15、考虑下面线性规划

maxZ?2x1?3x2?2x1?2x2?x3?12??x1?2x2?x4?8 ?s.t.?4x1?x5?16?4x?x?126?2??xj?0,j?1,2,?,6

其最优单纯形表为：

基变量 x3 0 4 4 2 -14 x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -2 1/2 -3/2 -1/4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 0 1 0 0 x1 x6 x2 ?j 试分析如下问题

（1）分别对c1,c2进行灵敏度分析，并求最优解、求最优值、最优基B及逆阵 （2）对b3进行灵敏度分析。 （3）当c2?5时，求新最优解。

5

（4）当b3?4时，求新最优解。

（5）增加一个约束2x1?2.4x2?12，问对最优解有何影响？ （6）确定保持当前最优解不变的P1的范围。

16、考虑下列线性规划：

Max Z(x) = 3x1 + 5x2 + x3

4x1 + 2x2 + x3 ≤ 14 S.t. x + x+ x ≤ 4

1

2

3

x1 , x2 , x3 ≥ 0

其最优单纯形表为：

CB 0 5 -Z

XB X4 X2 b' 6 4 3 X1 2 1 5 X2 1 X3 0 X4 0 X5 -2 1 填写出此线性规划最优单纯形表中空格处的数值，并求：

1)、写出此线性规划的最优解、最优值、最优基 B 和它的逆 B-1 ； 2)、求此线性规划的影子价格？

3)、试求 c2 在什么范围内，此线性规划的最优解不变；

17、已知某工厂计划生产 三种产品，各产品需要在甲、乙、丙设备上加工。有关数据如下

试问：

（1）如何充分发挥设备能力，使工厂获利最大； （2）若为了增加产量，可借用别的工厂的设备甲，每月可借用60台时，租金1.8万元，问是否合算？

（3）若另有两种新产品 ，其中每件 需用设备甲12台时、乙5台时、丙10台时，每件获利2.1千元；每件 需用设备甲4台时、乙4台时、丙12台时，每件获利1.87千元。如 设备甲 的设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产是否合算？

（4）增加设备乙的台时是否可使企业总利润进一步增加？ 18、考虑下列线性规划：

Max Z(x) = -5x1 + 5x2 + 13x3

- x1 + x2 + 3x3 ≤ 20 S.t. 12x1 + 4x2 + 10x3 ≤ 90 x1 , x2 , x3 ≥ 0 最优单纯形表为：

6

XB X2 X5 -Z

（1）写出此线性规划的最优解、最优基 B 和它的逆 B-1 ； （2）求此线性规划的对偶问题的最优解；

（3）试求 c2 在什么范围内，此线性规划的最优解不变； （4）若 b1 = 20 变为 45，最优解及最优值是什么？

19、某工厂生产Ａ、Ｂ两种产品，其所消耗工时、所需某种原料及利润如下表：

b' 20 10 -100 X1 -1 16 0 X2 1 0 0 X3 3 -2 2 X4 1 -4 5 X5 0 1 0 A B 消耗工时 (小时/单位) 6 10 所需原料(kg/单位) 12 5 利润 (元/单位) 500 800

生产线每月正常工作时间为 180 小时，原料的总供应量限制为 240kg。应如何确定生产计划，可使总利润最大？当每月正常工作时间为 230 小时，原料的总供应量限制为 270kg，总利润最大值为多少？并求此时两种资源的影子价格。

20、城市规划部门对扩建城区的工业区和生活区的比例进行规划，每公顷工业区和生活区所耗费的资源及其对本市的贡献如下表所示：

资 源 水 电 煤气 对本市 的贡献

试确定对本市贡献最大的规划方案。

若将电力约束改为工业区50，生活区40，在课件上验证规划方案如何变化。 若将电力约束改为工业区65，生活区45，在课件上验证规划方案如何变化。

若为配合电网负载分布，扩建城区电力消耗必须不低于8000千度，在课件上验证规划方案如何变化。

若去掉水电约束，在课件上验证规划方案如何变化。 21、 对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表—3所示。

表—3 产 品 I II III 季 度 1 1500 1500 1000 2 1000 1500 2000 7

工业区（公顷） 生活区（公顷） 5 55 ── 100 3 45 5 80 现有资源 450（千吨） 5000（千度） 600（千立方） 3 2000 1200 1500 4 1200 1500 2500

该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。已知该厂每季度生产工时为15000小时，生产I、II、III产品每件分别需要2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20元，产品III赔10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。（要求建立模型，不需要求解）

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