1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案(2)

北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析

一、解答题（共12小题，满分120分） 1．（10分）解方程考点： 专题： 分析： 解答： 解：原方程同解于， ．

方根与根式及根式的化简运算． 计算题． 先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方， 解不等式组求出x的值即为方程的解． 点评： 解得x=2 故方程的解为x=2 本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义． ．

2．（10分）计算：考点： 分析： 解答： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算． 解：原式=+++1 =． 点评： 此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单． 3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg． 考点： 对数的运算性质． 专题： 计算题． 分析： 利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子： “lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可． 解答： 解：∵lg=lg． 又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771， ∴lg点评： =lg=0.8266． 答案是：0.8266． 本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键． ．

4．（10分）证明：考点： 专题： 分析： 同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明． 证明题． 先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数 的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式． 解答： 证：∵（1+tana）2== = ∴原式成立． 点评： 本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆 同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用． 5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程． 考点： 直线的一般式方程． 专题： 计算题． 分析： 求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线 方程，将它化为一般式． 解答： 解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5． ∵直线过点（2，5）和（1，1） ∴所求的直线方程为即：4x﹣y﹣3=0． 本题考查用两点式求直线方程． ， 点评： 6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？ 考点： 数列的应用；等比数列的前n项和． 专题： 应用题． 分析： 由题意知七月份到十月份总产值为： 100+（1+20%）?100+（1+20%）2?100+（1+20%）3?100， 然后利用等比数列求和公式进行计算即可． 解答： 解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）?100+（1+20%）2?100+（1+20%）3?100 =． 答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元． 点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考， 合理地建立方程． 7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5． （1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）画出它的图象；

（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．

考点： 专题： 分析： 解答： 二次函数的图象． 作图题；综合题． （1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可； （2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可； （3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点， 令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点． 解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5 ∴﹣=﹣=3，==﹣1 ∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3． （2）如图列表（描点略） （3）图象与x轴相交，y=0即x﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5， 所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）； 图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）． 2点评： 考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标． 8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．

考点： 专题： 分析： 解三角形的实际应用． 应用题． 根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC． 解答： 解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°． 由正弦定理可得（海里）． 点评： 答：船和灯塔的距离CB为20海里． 本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角 函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式 等建立数学模型，然后求得问题的解． 9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD?AE=AC?AB．

考点： 专题： 分析： 解答： 相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。 证明题． 首先根据已知的条件，求出各三角形的内角度数，然后根据相等 角去找对应的相似三角形． 证：连接EC，在△ABD和△AEC中， ∠BAD=∠EAC，∠ABD=∠AEC， ∴△ABD～△AEC， ∴AD?AE=AC?AB． 此题考查了相似三角形的判定： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 点评： 10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题． 有一个交点？有两

分析： 直线与椭圆的交点适合下面方程组：， ① 代入②得=1，其判别式为△=576（25﹣m2）． 解答： 由此可知直线与椭圆有一个交点的充要条件是m=±5，这时直线与 椭圆相切．直线与椭圆有两个交点的充要条件是：﹣m2+25＞0 即|m|＜5，这时直线与椭圆相割．直线与椭圆没有交点的充要条件 是：﹣m2+25＜0，即|m|＞5． 解：直线与椭圆的交点适合下面方程组： 将①代入②得 =1， 整理可得25x2+32mx+（16m2﹣144）=0， 其判别式为△=（32m）2﹣4?25?（16m2﹣144）=576（25﹣m2） 直线与椭圆有一个交点的充要条件是m=±5， 这时直线与椭圆相切． 直线与椭圆有两个交点的充要条件是：﹣m2+25＞0即|m|＜5， 这时直线与椭圆相割． 直线与椭圆没有交点的充要条件是：﹣m2+25＜0，即|m|＞5． 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用． 的导数．

点评： 11．求函数f（x）=考点： 专题： 分析： 解答： 导数的运算． 计算题． 对于分段函数的导数要分段来求．先通过乘积的导函数的法则求出 原函数在x≠0时的导数，再利用导数定义求出当x=0时的导数，最 后分段写出导数解析式即可． 解：当x≠0时， ． 当x=0时， ．

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