1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案

1977年全国各地普通高等学校招生考试

数学试题及答案

北京市高考数学试卷（文科）

一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）计算：2．（10分）化简：3．（10分）解方程：

．

．

．

4．（10分）不查表求sin105°的值． 5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积． 6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程． 7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等． 8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB． 9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？ 10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．

（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）画出它的图象；

（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．

1977年北京市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）计算：

．

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 专题：计算题．

分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣

，

由此能求出的值．

解答：解：原式=1+﹣

点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解． 2．（10分）化简：

．

=1+=0．

考点：方根与根式及根式的化简运算． 分析：分子分母同乘以，整理可得． 解答：解：原式=．

点评：本题考查分母或分子有理化． 3．（10分）解方程：

．

考点：函数与方程的综合运用． 专题：计算题．

分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可． 解答：解：根据题意可知x≠1

等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2 化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2． ∴原方程的解为x=2． 点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题． 4．（10分）不查表求sin105°的值． 考点：两角和与差的正弦函数． 专题：综合题． 分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利

用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值． 解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°

=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°

=×

+

×

=

点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．

5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：计算题．

分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=?2?2?sin60°，

已知高h=10，由体积公式即可求得．

解答：解：正三棱柱形的底面积为S=?2?2?sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=?2?2?sin60°?10=

=

（cm3）．

点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．

6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．

考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程． 解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2， ∴所求直线斜率k′=﹣2．

故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1）， 即2x+y+1=0．

点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题． 7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等． 考点：三角形中的几何计算． 专题：证明题．

分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．

解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中， ∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°， BC=BC，∴△BDC≌△CEB， CD=BE．

点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理． 8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB． 考点： 余弦定理；解三角形的实际应用． 专题： 计算题． 分析： 利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案． 解答： 解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC?BC?cos，∠ACB=70米． 点评： 本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题． 9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？ 考点： 等比数列的性质；等差数列的性质． 专题： 计算题． 分析： 依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方 程组求得x和y，则插入的两个数可求． 解答： 解：设此数列为2，x，y，30． 于是有 点评： 解得x=6，y=18． 故插入的两个正数为6，18， 因此，所成的数列为2、6、18、30． 本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力． 10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．

（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）画出它的图象；

（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标． 考点： 二次函数的图象． 专题： 作图题；综合题． 分析： （1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可； （2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可； （3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点， 令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点． 解答： 解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5 ∴﹣=﹣=3，==﹣1 ∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3． （2）如图列表（描点略） （3）图象与x轴相交，y=0即x﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与 x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）； 图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）． 2点评：

考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标． 北京市高考数学试卷（理科）

一、解答题（共12小题，满分120分） 1．（10分）解方程2．（10分）计算：

．

．

．

3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg4．（10分）证明：

．

5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程． 6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？ 7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．

（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）画出它的图象；

（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标． 8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB． 9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD?AE=AC?AB．

10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆

有

一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．

11．（10分）求函数f（x）=

的导数．

12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义； （2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．

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