2006—2013年吉林大学《数学分析、高等代数》考研试题及答案(3)

6、已知n阶方阵A满足A?A，试证R?A??R?A?E??n。

2三、(本题满分15分)设3阶方阵A???1,?2,?3?有3个不同的特征值，且?3??1?2?2，试证?R?A??2;?若?3??1??2??，求Ax??的通解。

吉林大学

2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试题

试题名称：数学分析

一、（每小题6分，共30分）判断题

1.若某数列的任意子数列都发散，则此数列必无解；

2.若对任意正整数n，都有实数M?0使得当x?x0?M时，便有f?x??A?则limf?x??A。

x?x01，n3.若?f?x?dx收敛，则f?x?于?0，??上有界.

0?4.设u?f?x,y?为一元函数，若对任何实数h和k都有

limf?x0??h,y0??k??f?x0,y0?

??0则f?x,y?于?x0,y0?处连续. 5.若?an收敛，则limnan?0.

n?1n???二、(每小题6分，共30分)计算题 1.求极限limx?02.设u?ex2?x2?x20tctsintdt421?cosx.

?30u，求2010.

?x?ynkn13.求lim2n??n4.求?n?1??kek?1

??1?nn

3n5.求由方程ex?sinxy?ey?xy?1?e所确定的隐函数y?y?x?的导数并计算

y??0?。

三、（每小题10分，共30分）判断下列级数、广义积分的收敛性，并给出简要证明.

?1?n1.???1?tanln?1????

n?n?1?2.?x2sinxe?xdx

1??xn3.求函数项级数?2sinnx2的收敛域并判断其一致收敛性。

n?1n?四、（每小题10分，共20分）证明题。

2n2?1?2. 1.用定义证明lim2n??n?12.证明f?x??x在整个实轴上是一致连续的. 五、（每小题10分，共20分）计算下列积分： （1）计算曲线积分

?x2y2??1 其中C为椭圆49Cxdy?ydx， 22x?y（2）计算

???Vxy2zdxdydz,

其中V是第一象限中由曲面z?x,x?1,z?0所围成的区域。 六、（10分）设f?x?于?0,1?上连续，在?0,1?内可导且满足

f?1??8?xsinxf?x?dx

2120?证明至少存在一点???0,1?使得f???????2cot?2?f???.

七、（10分）设f?x?于?a,b?上连续，在?a,b?上有界，证明：

limnn???baf?x?dx?supf?x?

nx??a,b?

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