2006—2013年吉林大学《数学分析、高等代数》考研试题及答案(2)

10、求V上的线性变换?，?，使???1，???1 二、

1、设f?x?,g?x?为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数n，使得

**f?n?都是整

g?n?数，证明：

f?n?是整数多项式。 g?n?1222?a??b??c?，其中d是向量2d2、P是在曲线ax2?by2?cz2?1的充要条件是

OP的长度，?，?，?是向量OP的方向余弦。

3、V是数域?上的向量空间，?是V上的线性变换，记：??a*,a??当且仅当V是?特征子空间。

4、假定A是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B，使得A?B。

5、设V是数域?上的n阶矩阵构成的向量空间，A?V，f?x?是A的极小多项式，令

2U??h?A?h?x????x??，证明：

(1)U是V的子空间，而且dimU?dimf?x?

(2)?f?x?不可约，则U的每个非零元素都是可逆矩阵。

吉林大学

2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题

数学分析卷

一、 二、

3、?dx?eydy

0x112x2y2??1，周长为a。 4、??2xy?3x?4y?ds，L为椭圆

L4322三、

???上二次连续、可微，存在不低于整数x的常数r?0，使得1、设f?x?于?-?，f??x??r。记???f?0?,???，证明：存在?，使f?????.

2、f?x?和g?x?皆为区间?a,b?上的连续函数，K?x,y?在?a,b???a,b?上二次连续，

fn?x????K?x,y?fn?1?y?dy?g?x?，其中?为常数。证明

ab (1)?sup?K?x,y?dy?1时，fn?x?于?a,b?一至连续。

ab (2)f?x?满足f?x?-??K?x,y?dy?g?x?

ab3、f?x?在?-?，???上具有连续的一阶导数。???x????0?f?0???f?t?f??x?t?dt

0x 证明；??x???f?t?f??x?t?dt

0x1?1?nx,0?x??n,n?1,2,??? 4、fn?x???1?0,?x?1n?证明：fn?x?在?0,1?上不一致连续，且lim?fn?x?dx??limfn?x?dx

n??00n??x115、f?x?在?-?，???上具有连续的一阶导数，且??x???f?t?f?x?t?dt，证明：

0???x??f?x?f?0???f?t?f??x?t?dt

0x

高等代数与空间解析几何卷

7、求点P?1,1,0?到平面x?y?z?1的距离。

8、求曲面x?y?2yz?4在点P?1,1,1?处的切平面。

229、写出内积、外积和混合积的定义。 10、设f?x??x?2nn?1xn?1?2n?2xn?2?????2x?a为在有理数域上大于1的多项式，给

出a的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。 11、再复数域上，当g取何值时，多项式f?x??x?3x?g有重因式。

301112、A?101，求正交矩阵P及对角矩阵D，使得PTAP?D

1102a0

11、V是实数域上三元列向量空间，A?a21，为n阶正定矩阵。定义011uv?uTAv,?u,v?V，则当a满足什么条件是，V为欧式空间。

12、当a,b为何值时，5个平面akx?2ky?3kz?bk?0,0?k?4经过一条直线。 13、求V上的线性变换?，?，使???1，???1 二、

6、设f?x?,g?x?为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数n，使得

**f?n?都是整

g?n?数，证明：

f?n?是整数多项式。 g?n?1222?a??b??c?，其中d是向量2d7、P是在曲线ax2?by2?cz2?1的充要条件是

OP的长度，?，?，?是向量OP的方向余弦。

8、V是数域?上的向量空间，?是V上的线性变换，记：??a*,a??当且仅当V是?特征子空间。

9、假定A是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B，使得A?B。

10、设V是数域?上的n阶矩阵构成的向量空间，A?V，f?x?是A的极小多项式，令

2U??h?A?h?x????x??，证明：

(1)U是V的子空间，而且dimU?dimf?x?

(2)?f?x?不可约，则U的每个非零元素都是可逆矩阵。

吉林大学

2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题

试题名称：数学分析

一、计算（每小题7分，共42分） （1）设f?x?可导，y?fexef?x?，求y?；

1?cosx2（2）求lim2；

x?0xsinx2??（3）F?x???cosxsinxex1?y2dy，求F?x?；

?y2?z2?1，求gradu?x,y,z?；

（4）设u?x,y,z???x2?2（5）求???x?y?dxdy，其中???x,y?,x2?y2?x?y，

???（6）求???x?y?z?dS，其中S为曲面x2?y2?z2?a2位于z?0的部分。

S二、证明（每小题10分，共20分）

1??1??1??（1）设xn??1???1??????1??,数列xn收敛。

?2!??3!??n!?（2）设xn?1?11?????，数列xn发散。 2n三、（20分）求二元函数f?x,y??x2?2y2?x2y2于闭区域

D??x,y?:x2?y2?4,y?0上的最大值和最小值。

四、（15分）指出以下三个定义区间?0,1?上的函数中哪一个是不一致连续的，并证明你的结论。

sinx11（1） （2）sin （3）xsin

xxx五、（10分）设f?x?于?0，???上具有连续的二阶导数，f???0??0??f???x??a?0,?x??0,???,a为常数，求证：存在唯一的x*??0，???，使得

fx*?inff?x?。

x?0??六、（10分）设??x?有连续导数，计算曲线积分

I?????y?cosx??y?dx?????y?sinx???dy

C其中C为从点A??,2?到点B?3?,4?的位于直线段AB下方的光滑曲线段，C与AB围成的面积为a。

七、（每小题10分，共20分）

（1）将函数f?x??arctanx展成幂函数，并指出其收敛区间； （2）将函数f?x??1?x,x????,??展成Fourier级数。

?八、（13分）设f?x??1，求证：

1?x?x2f?n??0?f?n?1??0?f?n?2??0? （1）； ???n?1?!?n?2?!n! （2）?n?n!f?n??0?收敛，

空间解析几何

一、计算下列各题（本题满分75分，每小题15分）

1、求过点P?-1,0,4?,平行于平面?:3x?4y?z?10，且与直线L:x?1?y?3?交的直线方程。 2、求直线L:z相2x?1yz?1??绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程。 1213、设4元线型方程组Ax?b，且A的秩R?A??3，已知?1,?2,?3是其3个解向量，其中

?2??2?????0???0??1???,?2??3???,

00?????9??8?????求Ax?b的通解。

4、已知矩阵

?200??200?????A??301?与B??0y0?相似，求x,y。

??51x??00?1?????5、已知向量组

?1??3??4??8??????????1??0?,?2??1?,?3??0?,?4??1?,

?1??1??3??5?????????(1)试证?1,?2,?3是R的基；(2)将?用这个基线性表示。

二、证明下列各题(本题满分60分，每小题10分)

1、设n阶矩阵A、B满足A2?A,B2?B，?A?B??A?B，试证AB?O.

232、设?1，?2，?3线性无关，令?1??1??2，?2??2??3，?3??3??1，试证

?1，?2，?3也线性无关。

3、设A、B均为n阶对称矩阵；证明AB?BA是n阶对称矩阵。 4、设n阶矩阵A、B满足B??E?A??1?E?A?，试证E?B可逆。

T5、设矩阵Am?n，若A的秩R?A??n，试证AA为正定矩阵。

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