2006—2013年吉林大学《数学分析、高等代数》考研试题及答案

吉林大学

2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题

数学分析卷

一、（共 30 分）判断题

1、若函数f(x)在?a,b?上Riemann可积，则 ?f(x)?在?a,b?上Riemann也可积；

2??2、若级数?an收敛，则级数?an也收敛；

n?1n?13、任何单调数列必有极限； 4、数列???1?n?的上、下极限都存在；

5、区间 ?a,b? 上的连续函数必能达到最小值； 6、sinx在整个实轴上是一致连续的；

7、若函数f?x,y?沿着任何过原点的直线连续，则f?x,y?在?0,0?连续；8、若函数f?x?在点x0取极小值，则f??x0?=0； 9、若f??x0?=0，f???x0??0，则f?x?再点x0取最大值； 10、向量场?x2?y2,y2?z2,z2?x2?是无源场。 二、（共 20 分）填空题

1、设u?sin(x?y)(x?y?z)，则gradu=( );

2、设F??(x?y,y?z,z?x)，则divF?=(

);

3、设F??(x-yz,y?zx,z?xy)，则rotF?=( );

4、设s表示单位球面x2?y2?z2?1，则第一型曲边梯形??x2ds=(

s5、数列???-1?nn2?1?的下极限为( );

?n2??三、（共 20 分）计算下列极限

n11、lim?n?????1?nk?1k2006??；

);

2、lim1x?0x?1?2x?31n?20071?3x； ?1n?n?1?3、n??1lim?n?2006??；

x2dx； 4、lim01?x?x2n???1四、（共 20 分）判断下列级数的敛散性

2006n1、?nn；

n?12007?2005?un?1n2n?1,2???； ?2、?un，其中un?0，2，un?n?1?n?1?五、（10 分）设函数f(x)在?0,1?两次连续可微，满足f(0)?f(1)?0且

?f?x?dx?0。

01证明：存在???0,1?使得f??????0。 六、（10 分）计算第二型曲线积分

3x4ydx??c3x2?4y23x2?4y2dy

其中C为单位圆周x2?y2?1，方向为顺时针方向。 七、 （10 分）证明，对任意 x?0，都有

x3sinx?x?

6八、 （10 分）设?,?,a,b均为常数，且对任意x都有

??x???sinx?ax?b

证明：????a?b?0

九、（10 分）证明，不存在?0，??上的正的可微函数f?x?，满足f??x??十、（10 分）试构造区间?0,1?上的函数序列?fn?x??，具有如下性质：

f?x??0。

(1)对每个n，?fn?x??是?0,1?上的正的连续函数； (2)对每个固定的x??0,1?，limfn?x??0；

n?? (3)lim?fn?x?dx???.

n??01高等代数与空间解析几何卷

一、（共 32 分）填空

1、平面上的四个点?xi,yi??i?1,2,3,4?在同一个圆上的充要条件为 _____ 。（要求用含有 xi,yi的等式表示）；

2、设方阵A只与自己相似，则A必为 _____ ；

?a1?3、设A??a2?a?3b1b2b3c1??xyzc2?为可逆矩阵，则直线与直线 ??a1?a2b1?b2c1?c2c3??xyz的位置关系为。（要求填写相交、平行、重合、异面四??a2-a3b2?b3c2?c3者之一）；

4、设A???1,?2,?3,?4?为四阶正方矩阵，其中?1,?2,?3,?4均为四维列向量：且?2，?3，?4线性无关。求线性方程组AX?????1?2?2??3，?1??2?3?3，的通解。

二、（16 分）求二次曲面2x2?y2?z2?4xz?2x?4y?6z?12?0的主方向； 三、（17 分）设V为n维欧式空间，u1,u2???,un与v1,v2,???,vn为V中向量，

u1,u2???,un线性无关，且对任意的i,j?i,j?1,2,,???,n?均有uiuj?vivj。证明，必有

V上的正交变换?使得

??ui??vi?i?1,2,3,???,n?

四、（17 分）设 V为数域?上的n维向量空间，?，?均为V上的线性变换，且满足???????0。证明：?????。

五、（17 分）设A为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B，使得A?B为正定矩阵。

六、（17 分）设V为数域?上的2n维向量空间，?为V上的线性变换，且

Ker????V?。

证明：存在V的一个适当基底及Jordan型矩阵A，使得?在该基底下恰好对应矩阵A。

七、（17 分）设V为实数域上的全体n阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，?为V上的线性变换，对任意的A，??A??AT。 1、求?的特征值；

2、对于每一个特征值，求其特征子空间；

3、证明V恰为?的所有特征子空间的直接和。

八、（17 分）设A?aij??n?n为n阶实方阵，若对任意的i?i?1,2,???,n?均有

aii?

i?1,j?1?anij，则称A为对角占优矩阵。证明，对角占优矩阵比为可逆矩阵。

吉林大学

2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题

数学分析卷

一、（共 30 分）判断题

1、Riemann函数在任何有限区间上都是Riemann可积的；

2、若无穷积分?f?x?dx收敛，则无穷积分?f?x?dx也收敛；

00??3、任何单调递增且有下界的数列必有极限； 4、有界数列的上、下极限都存在； 5、连续函数一定是有界函数； 6、x在整个实轴上是一致连续的；

7、若函数f?x,y? 在?0,0?处的两个偏导数，则f?x,y?在?0,0?连续； 8、sin1在?0,1?内有无穷多个极大极小值点； x9、若f??x0??0则 f?x?在点x0必取极大值或极小值； 10、向量场y2?z2，z2?x2，x2?y2是无源场。 二、（共 20 分）填空题

1、设u?arctanx2?y2?z2，则gradu?( );

????2、设F??sinx,cosy,x?y?z?，则divF=( );

??2223、设F?(x-yz,y?zx,z?xy)，则rotF=( );

??4、设s表示单位球面x2?y2?z2?1，则第一型曲边梯形???x?y?z?ds= ( );

2s?nn?1?5、数列??-1??的上、下极限的和为( );?

n??三、（共 20 分）计算下列极限 1、lim?

六、（10 分）计算第二型曲面积分

nn?n??????? ?2222；n??n2?12n?2n?n??xxxdydz?dzdx?dxdy ??x2?2y2?z2x2?2y2?z2x2?2y2?z2其中?为球面x2?y2?z2?1的内侧。

高等代数与空间解析几何卷

1、求点P?1,1,0?到平面x?y?z?1的距离。

2、求曲面x?y?2yz?4在点P?1,1,1?处的切平面。

223、写出内积、外积和混合积的定义。 4、设f?x??x?2nn?1xn?1?2n?2xn?2?????2x?a为在有理数域上大于1的多项式，给

出a的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。 5、再复数域上，当g取何值时，多项式f?x??x?3x?g有重因式。

30116、A?101，求正交矩阵P及对角矩阵D，使得PTAP?D

1102a0

8、V是实数域上三元列向量空间，A?a21，为n阶正定矩阵。定义011uv?uTAv,?u,v?V，则当a满足什么条件是，V为欧式空间。

9、当a,b为何值时，5个平面ax?2y?3z?b?0,0?k?4经过一条直线。

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