概率论与数理统计试题库及答案(6)

?2?(n?1)S2??22，?2?(n?1)S2?21?

?2(n?1)S2(n?1)S2所以?的置信区间为：[，] 22??(11)??(11)21?2将n?12，S?0.2代入得 [0.15，0.31]

9．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，

2n1?5,n2?6,x?175.9，y?172，s1?11.3，s2，??0.05.2?9.1

2(n1-1)s1?(n2-1)s22sw?n1?n2-2 (2分)

=3.1746, （4分） 选取t0.025(9)=2.2622,

则?1－?2置信度为0.95的置信区间为： ?x-y-t?(n1?n2-2)sw??21111??,x-y?t?(n1?n2-2)sw?? (8分) n1n2n1n2?2 ＝[-0.4484,8.2484]. (10分)

注：置信区间写为开区间者不扣分。 10． 解：由于?未知，故采用要求

??2(n?1)S2?2~?2(n?1)作枢轴量 （2分）

P(???L)?1?? （2分）

22P(???)?1??， L这等价于要求

P(也即

(n?1)S2?2?(n?1)S2?2L)?1?? （2分）

而

P((n?1)S2?2?L2??12??(n?1))?1??21??2L （2分）

(n?1)S2所以

??(n?1)S2(n?1)??2?1??(n?1) （1分）

，故

故?的置信水平为1??的置信下限为

2?L?(n?1)S2?12??(n?1) ?(8)?15.507

由于这里n?9，??0.05，0.9526

所以由样本算得

?L?2.155? （1分）

即?的置信水平为0.95的置信下限为2.155。

11． 解：写出似然函数

?1L(?,?)??ei?12??

2n(xi??)2?22?(2??)e12?2n2?n2?i?1?(xi??)22?2n （4分）

2lnL(?,?)??ln(2??)?取对数

n22?(x??)ii?12 （2分）

求偏导数，得似然方程

??lnL1n2?(x??)?0i2??????i?1?n??lnL??n?1(xi??)2?0?3???i?1??? （3分）

??Sn2????X解似然方程得：， （1分）

12．解：设第i点出现的概率为

pi，i?1,?,6

1H0:p1?p2???p6?16，H1:p1,p2,?,p6中至少有一个不等于6 (1分) (ni?npi)2???npii?1采用统计量 (1分)

2r?在本题中，r?6，??0.05，

20.95(5)?11.07 (1分)

2W?{??11.107} (1分) 所以拒绝域为

21np?120??i6?20，所以 算实际的值，由于

(ni?npi)2(x?20)2?4?(20?20)2?(20?x)2(x?20)2?????npi2010i?1 (1分)

26(x?20)20??11.10710 所以由题意得时被原假设被接受

即9.46?x?30.54，故x取[10,30]之间的整数时， (2分) 此骰子是均匀的的假设在显著性水平??0.05下被接受。(1分)

13. 解：“这几天包装是否正常”，即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作

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假设检验

(1)（检验均值，总共6分）选统计量，并确定其分布

H0:??1，H1:??1

t?X?1~t(n?1)S/n

W?{|t|?t1??}?{|t|?2.306}2 确定否定域

t? 统计量的观测值为 因为

x?1?0.1875s/n

2|t|?0.1875?2.306?t1??，所以接受

H0:??1。

(2)（检验方差，总共6分）

H0:?2?0.022，H0:?2?0.022

1??20.02选统计量

2?(Xi?1ni?X)2~?2(n?1)

222W?{???(n?1)}?{??15.5} 1??确定否定域

1??20.02统计量的观测值为

28?0.0322(xi?x)??20.48?20.02i?1

n22222??20.48?15.5??(n?1)H:??0.021??0因为，所以拒绝

(3)（2分）结论：综合(1)与(2)可以认为，该天包装机工作是不正常的。 14．解：此时的似然函数为

L(?)?P(X1?1,X2?2,X3?1)?P(X1?1)P(X2?2)P(X3?1) （2分）

225L(?)???2?(1??)???2?(1??) （2分） 即

lnL(?)?ln2?5ln??ln(1??) （1分）

dlnL(?)51??d??1?? （1分）

dlnL(?)?0d?令 （1分）

???56.（1分）

28

得?的极大似然估计值

15．解：(1)解：根据公式可得

????XY??01

??lXY??0?lXX?????Y???X?11 其中 （2分） lXX1n??X?nX??(Xi?X)??X?(?Xi)2ni?1i?1i?1i?1 （1分）

2i222innnnnn

lXYn1n??XiYi?nXY??(Xi?X)(Yi?Y)??XiYi?(?Xi)(?Yi)ni?1i?1i?1i?1i?1（1分）

??4.375???0???0.323??? 用上述公式求得1 （2分）

?即得线性回方程为Y?4.375?0.323X

ST??(yi?y)?1464.5312i?111(2)，

?i?y)2?1418.8744SR??(yi?111

SE?ST?SR?45.6565 （1分）

检验假设

H0:?1?0,H1:?1?0 （1分）

F?SR?F1??(1,n?2)SE/(n?2) （1分）

（1分）

H0的检验统计量为H0的临界值

F1??(1,n?2)?F0.01(1,9)?10.6F?由前面的计算可知

SR?279.679?10.6?F1??(1,n?2)SE/(n?2)（1分）

??0。

所以在显著性水平??0.01下，拒绝原假设，认为1（1分）

16．解： (1)

方差来源 A e 平方和 352.933 540.8 自由度 2 12 14 均方和 176.467 45.067 F比 3.916 893.733 T （每空1分，共5分）

29

F(2,12)?3.89，所以样本落入拒绝域，即认为三台机器的生产

(2)又因为F?3.916?0.95能力有显著差异。 （2分） 17． 解：(1)由公式可得

?xn?110＜x＜1　?n()?，　pn(x)?????X(n)?0 , 其它的概率密度函数 （5分）

?nn?10＜x＜1　?nx，　pn(x)?????0 , 其它即 （2分）

(2)

E[X(n)]??x?pn(x)dx??x?0011n?nxn?1dx?n?n?1 （3分）

2222H:??0.02H:??0.020018． 解：， （2分）

1??20.02选统计量

2?(Xi?1ni?X)2~?2(n?1) （2分）

222W?{???(n?1)}?{??15.5} （1分） 1??确定否定域

1??20.02统计量的观测值为

28?0.0322(xi?x)??20.48?20.02i?1 （1分）

n22222??20.48?15.5??(n?1)H:??0.021??0因为，所以拒绝 （1分）

19．解：因为正态分布的线性组合还是正态分布 所以

Xk?1?Xk服从正态分布 （2分）

所以下面只需要确定这个正态分布的期望与方差就可以了。

1k?11kXk?1?Xk?Xi??Xi?k?1i?1ki?1 由于

1k?1k?1k?(?Xi?Xi)?ki?1 k?1i?1

k1k?11k?(?Xi??Xi??Xi)k?1ki?1i?1i?1

由于

?1(Xk?1?Xk)k?1 （3分）

Xk?1与Xk是相互独立的，且求得

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