论积分学中的微元法思想及其应用(4)

取y为积分变量，它的变化区间为[?2,4]，于是有：

y2 S??(y?4?)dy?18

?2243.1.2 微元法求立体体积

（1）切面面积已知的几何体体积

设一几何体位于过点x=a, x=b且夹在x轴的两个面之间， x轴的平面与立体相交的切面面积为已知的连续函数S（x），求此几何体的体积。

令x为积分变量，它的变化区间为[a，b]，与此几何体体积相关的是切面面积函数S（x）。在[a，b]上任一小区间[x,x+dx]的小体积?V近似等于截面积为S（x）乘以宽为dx的体积，即

?V?S(x)dx 得所求立体的体积微元 dV= S(x)dx 于是所求立体的体积

V??S(x)dx……………………………..(1)

aba x x?dx b

例1 计算以半径R的圆为底，以平行于底且长度为该圆半径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。

解 取底圆直径所在直线为x轴，以底圆中心为坐标原点，过原点垂直于x轴的直线选为y轴，则底圆方程为

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x2?y2?R2

过点x作垂直于x轴的平行截面均为等腰三角形，于是截面面积函数

S(x)?h?2y?hR2?x2 由公式（1）的正劈锥体体积

V???RhR?xdx?2h?0R?xdx?2222RR12?R2h2

（2）旋转体体积

讨论旋转体体积是由连续曲线y?f(x)(f(x)?0)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而成的立体，由于垂直于x轴的旋转体的截面是一个半径为y的圆，所以平行于截面面积函数为 S(x)??y2??f2(x) 由公式（1）的旋转体体积

V???f2(x)dx…………………………(2)

ab

x2y2例2 求椭圆方程为：2?2?1，它所围成的平面图形再绕x

ab轴旋转一周所成的立体图形的体积。

解 以x轴为旋转轴的椭球体可看做曲线y?转而成，由公式可得所求立体图形的体积

b224V???2(a?x2)dx??ab2

?aa3aba2?x2绕x轴旋a

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3.2二重积分中微元法的思想及几何应用

设f(x,y)为有界函数，且定义域是在有界区域D上，有界区域D等分成n个小区域??1,??2,......,??n，其中??i表示第i个小区域，在每个小区域??i上取上一点(?i,?i)，作乘积得到n个小立体体积，可表示为f(?i,?i)??i，然后对于这n个小立体体积求和为?f(?i,?i)??i，

i?1n当n趋于无穷时，这个和式的极限存在为一定值，则此定值称为函数

f(x,y)在区域D上的二重积分，记作??f(x,y)d?，即

D

?f(?,?)????f(x,y)d?=lim?D?0iii?1ni

其中f(x,y)称为被积函数，D为积分区域，f(x,y)d?称为被积表达式，

d?称为面积微元，x与y称为积分变量。这里的f(x,y)如果没有特殊

说明都认为是在闭区域D上连续。

由二重积分的定义可知，当f(x,y)?0，曲顶柱体的体积是曲顶上的竖坐标f(x,y)在底D上的二重积分：

V=??f(x,y)d?

D二重积分的几何意义当f(x,y)?0时，曲顶柱体的体积为V=??f(x,y)d?

D所以，二重积分的几何意义即为不规则柱体的体积；如果f(x,y)是负值，则曲顶柱体在xOy面的下方，这时二重积分的值也即为负的，二重积分的值就等于曲顶柱体体积的负数。

例1 计算??xyd?，D是由直线y=x，

DY 2

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O X 2 X y=1和x=2所围成的封闭的区域。

解 积分区域D的图形如右图，由积分公式得：

??xydxdy??dx?xydy

D112x1 =?1[xy2]222x1dx

21412131[x?x]dx?[x?x] =?12 2841 =1?(?)?

对于此题我们用了先对y积分再对x积分，当然也可以先对x积分后对y积分，同样方法也可以解决本题，在此就不在赘述。、

例 2 计算??(x2?y2?y)d?，D

D181498y y?2 由y=x，y=及y=2围成。

解 积分区域D的图形如右图， 本题可先对x积分后再对y积分，所以有：

x2y?x y?x 2x

??(xD2?y?y)dxdy??dy?(x2?y2?y)dx

20y22y =?0[x2232y3?xy2?xy]ydy

83y332 =?0[y?2y?2y??y3?y2]dx

33 18

=?0[

210332y?y2]dy = 334、微元法在其他学科中的应用

定积分中微元法思想在许多学科上都得到了应用，它有力的推动了这些学科的发展，如在物理学，经济学，生物学，化学、工程学天文学等学科都有着广泛的应用。微积分是为了解决实际生活中的问题而诞生的是一门学科，且它得到不段得完善和补充，成为了一门理论性较强的学科，然而它的一切工作还是为了实际的应用，所有应用又是重中之重，随着社会的发展微积分的应用也空前的普遍了。

（1）微元法在物理学中的应用

在我们常见的物理学问题中，对于物体的某一段状态多数都不是恒定的，那么对于这一物体的研究就非常困难，可当引入了微元法后，可把物体的这一变化规程微分成许多微小的过程，而这每个微小的过程可以看做是状态恒定的变化，这样在将每个微小的过程累计求和，最终得到这个物体的整个运动情况，对于这些微小过程就称为微元法。

例 如图所示，有一个圆柱形的容器，其中充满某一气体，由于对气体加热，使得气体膨胀把容器中的活塞从点a处移动到点b处，已知容器底面积和活塞面积均为S，求此过程中气体压力所作的功.

解：由已知定律可知压强p与体积V成反比，

kk? VxSk故作用在活塞上的力为F?pS?

x用公式表达为：p?功元素为

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