论积分学中的微元法思想及其应用(2)

柯西的积分理论进行了补充和扩展，后来法国数学家拉格朗日引如了测度理论，同时黎曼积分也得到扩充。像著名的狄利克雷函数在黎曼积分下不可积，而在拉格朗日积分下便可积。

前苏联数学家所伯列夫给出了广义函数及广义导数的理论，从而他也证明了偏微分方程解的存在性和唯一性定理。而偏微分方程解的存在性和唯一性这样定理的成功证明使得微分方程得到了空前的补充与完善，更具意义的是，它把现有的数学工具如泛函分析等应用到微分方程里面成为了可能，即而微分方程理论得到了空前的发展。

随着时间的进行只局限于研究欧式空间下的微积分已经满足不了数学本身发展和解决问题的需要，这也促使打破欧式空间下的微积分研究的局限，把欧式空间下的微积分的研究拓展的一般的微积分的研究，即是微分流形上的研究。对于微分流形上的微积分的研究，外微分式有着重要的地位，从而外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式产生了。

从微积分的发展可以看出，人对事物的认识是从表象到本质的认识，继而产生抽象的认识。而人们对事物的认识是具有时代性的，不同的时代对事物有着不同的认识，因为科学是不断在发展的，人们对事物的认识也是在不断地深入，不断地完善和全面。人类对事物的认识和对知识的渴望是没有终点的。

1.3中国古代数学对微积分创立的贡献

对于微积分的重要组成部分极限概念和求积的无限小方法的研究古代中国丝毫不落后于西方，甚至在西方之前中国就已经对微积分

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开始研究了。公元前7世纪在老子和庄子哲学思想和著作中就已经有无限可分性和极限思想的理论；到了公元前4世纪在《墨经》中已经出现了较为成熟的无穷大（最大无外），无穷，有穷，无限小（最小无内）的定义以及瞬时，极限等概念。魏晋南北朝数学家刘徽根据自己开创的割圆术求圆面积，已经将圆周率的计算精确到小数点四位，他的极限理论和无穷小方法已经在当时世界是最先进的，而这种微积分思想在17世纪初的西方国家才开始初步的出现和发展。

这种极限理论和无穷小方法理论的研究在古代中国不仅仅只有刘徽在研究，公元5世纪的祖恒在求球的体积时就已经用到了极限理论和无穷小方法。而对于高阶的等差级数求和问题在古代中国的北宋时期就已经有了研究且得到了较为成熟的发展和运用，其中代表人物是沈括，他创立的“隙积术”，“会圆术”，“棋局都数术”等数学方法就可以体现到当时对高阶等差级数求和理论的深入研究。到了南宋秦九韶的《数书九章》的问世具有划时代意义，其中的增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解即大衍求一术的方法更是闻名世界。在十四世纪前后可以说是中国古代数学发展的一个高峰，有被称为贾宪三角形的开方作法本源图， 组合数学，大衍求一术，招差术（高次差内差法），大衍总数术（一次同余式组解法），勾股数学，四元术（四元高次方程组解法），垛积术（高阶等差级数求和），珠算，天元术（数字高次方程一般解法），正负开方术，弧矢割圆术，增乘开方法，计算技术改革等数学理论在当时的中国乃至世纪都是非常著名的，这也使得古代数学在世纪有了举足轻重的地位。总体来说古代中国的微积

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分理论比西方早了500多年，中国古代数学家出色的完成了创立微积分的前两个阶段即极限概念和求积的无限小方法，也是最关键的阶段，然而对于最后一个阶段积分与微分的互逆关系的理论却由于中国元朝时代的体制而导致了无法圆满的完成这一理论，元朝的八股取士制度在学术发展上产生的极大的阻碍，尤其是数学的研究，古代的中国已经无限的接近微积分理论的完成，可就在微积分创立的关键时刻这一理论被阻碍了，从而导致了微积分发展的停滞，最后使得在微积分方面的研究落伍了。

2、微元法的基本思想

2.1微元法的概念及理论

微元法的概念

从定积分的角度来看，其主要思想是：在微观条件下，对于曲线，曲顶和不均匀物体经过无穷次得微分之后在微小部分都可以看做是直线，平面和均匀的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”的思想.

从宏观的角度，对于求y=f（x）在[a, b]上与x轴所围的面积S时，如图2.1所示，在区间[a, b]上任取一点x，取宽度为?x，当?x很小时，可以认为在区间[x,?x]上f（x）是一条直线，于是有这个小矩形的面积可表示为：

dS?f(x)?x?f(x)dx

a

y?f(x)?x x

b

图2.1 微元法的意义

此时把dS?

。把所以的小矩形面积f(x)dx称作为“面积微元”

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dS全部

累加求和便得到图形的面积S值。这种累加是通过积分来实现的，即

S??f(x)dx

a b此求面积S的问题可用定积分来计算应具有的两个特点：1.区间的可加性，此条件是显然的；2.表达出小矩形面积?S，即

?S?f(x)?x???x （2.1）

对于其中的f(x)?x是很好表达出的既是“长乘宽”。但对于??x却是很难表示出，其实??x即为?x高阶的无穷小量，故此项??x就可以忽略舍去，所以?S也就可以表示为：

dS?f(x)dx （2.2）

其中的dx既是?x,dS则称为面积S的面积微元，简称微元。所以用定积分求面积问题其关键在于求出面积微元即可。

设f(x)在[a,b]是连续的函数，作它的上限可变的积分表达式：

U(x)??f(t)dt （2.3）

ax是f(x)的一个原函数，即dU(x)?f(x)dx.于是，

?baf(x)dx??dU?U （2.4）

ab这表明连续函数f(x)的定积分就是（2.1）的微分的定积分. 由理论依据（2.2）可知，所求总量A就是其微分dU(x)?f(x)dx从

a到b的无限累加得U??f(x)dx，这种取微元f(x)dx计算积分的方法

ab称为微元法.

如求在公路上做非匀速行驶的汽车位移的时候，去任意时间段从

t0到t1内，在[t0，t1]内任取一时刻t，去时间增量?t，当?t区非常小

时，即?t趋于0时，汽车的运动可视为匀速运动，即汽车在时间段[t，

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t+?t]内作匀速运动，速度用t时刻的速度代替为v(t)，其运行的路程

即可表达为：

dS?v(t)?t?v(t)dt

dS?v(t)dt即为路程微元，对所以的dS进行累加求和，得：

S??v(t)dt

T0 T1运用这种微元法思想，同理还有求出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。这样我们就可以试图求出生活中许多实际问题，且这种方法方便，有效，可行。

微元法的理论

在理解微元法理论之前我们先来了解一下定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上是有界,若[a,b]对任意分

a?x0?x1?x2?...?xn?b,令任取?xi?xi?xi?1,只要??max{?x}?0i1?i?n时,?f(?i)?xi?定值A,则极限A为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,

i?1n记作?af(x)dx,即?af(x)dx?lim?f(?i)?xi,此时称f(x)在[a,b]上可积.

??0i?1bbn计算曲边梯形面积的具体步骤: 1）分割

在区间[a,b]中任意插入n-1个分点, a?x0?x1?x2?...?xn?b,用直线x?xi将曲边梯形分成n个小曲边梯形; 2）近似替代

在第i个小区间上取?i?[xi?1,xi],以[xi?1,xi]为宽,以f(?i)为长的小

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