论积分学中的微元法思想及其应用(3)

矩形,则小矩形面积为f(?i)?xi，用f(?i)?xi来近似替代相应小不规则梯形面积?Ai,即有：?Ai?f(?i)?xi(?xi?xi?xi?1,i?1,2,...,n). 3）求和

A???Ai??f(?i)?xi

i?1i?1nn4）取极限

令??max{?xi},则有:

1?i?nA?lim?f(?i)?xi

??0i?1n从上面定积分的定义可以看出，如果要求定积分使用以上步骤：分割、近似替代、求和、去极限，来求工作量太大且较为麻烦，对于生活中大多数的定积分问题我们通常使用微元法来求其表达式，这样问题就变得极其简单了而微元法则是通过定积分的定义演变过来的的。. 2.2 微元法的使用条件

对于使用定积分求解问题S应具有以下条件：

（1）由连续函数f(x)和直线x=a，x=b及x轴所围成的图形是确定的，即S是确定的；

（2）S在区间[a,b]上具有可累加性, 也就是说如果a

（3）S具有单调性，即若在[a,b]上f(x)?g(x),则S在[a,b]上由f(x)所确定的量不大于S在[a,b]上由g(x)所确定的量；

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在一般情况下,问题的变量都是非均匀变化的,但当把变化过程微分，即在变化的一瞬间,变量还没有来得及变化时，此时在微小的局部我们可以看做变量是均匀变化的,这样额话就可以用 dS?f(x)dx近似代替?S,但要求误差是?x的高阶无穷,即微分的非常非常细小，即上述（3）的?S?f(x)?x?0(?x)=0成立.可是对于一些特殊问题,通过微分得到的dS可能是不正确的,所以使用微元法应特别注意检验

?S?f(x)?x是否为?x的高阶无穷小量便是一件很必要的过程,当然这

个过程也不是很简单就能办到的,这就需要对?S?f(x)?x的合理性判断更加小心.对于此问题进行简单讨论：

在任一小区间?x,x??x???a,b?,若能够把所求量S的微分?S近似表示成关于?x的表达式：

?S?f(x)?x

其中f为某一连续函数,而当?x?0时, ?S?f(x)?x?0(?x),这样只要将定积分?af(x)dx计算出来，即为所求S的值.下面需要说明一下当

?x?0时，就可以得到?S?f(x)?x?0(?x)，因为知道这个问题可以

b更好的懂得微元法的思想。下面证明：当

?S?f(x)?x?0(?x)

?x?0时有

证：因为S(x)??af(x)，所以：S(x)??af(x)dx 再根据积分第一中值定理可得:

?S??x??xxxxf(x)dx?f????x

其中?是介于x与x??x之间的常量,则：

?S?f(x)?X?f(?)?f(x)

?X

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因为f(x)是连续的,所以：当?x?0时,有??x,从而有f(?)?f(x)也就是：

?S?f(x)?0,故?S?f(x)?x?0,(?x?0),问题得证. ?x2.3 微元法的解题步骤

设有一个函数f(x) , 在区间[a,b]上连续，所求量S可以表示为:S?F(b)?F(a) ，然后进行以下三步:

第一步：取dx , 并确定其定义域[a,b];

第二步：将区间[a,b]微分成无数个小区间, 取其中任一个小区间

[x,x?dx], 对于这个小区间所对应的小矩形?S能近似地表示为f(x)与dx的乘积即f(x)dx,f(x)dx即为所求面积S的微元并记作dS, 所以

?S?dS?f(x)dx

第三步：在区间[a,b]上积分, 得到S??af(x)dx?F(b)?F(a) 其中F(x)`?f(x)即f(x)是F(x)的导数。S??f(x)dx?F(b)?F(a)既是我

abb们以后要学习的牛顿——莱布尼茨公式。

例1 求二次抛物线y?x2与区间[0,2]所围的面积.

解：1.因y?x2在[0,2]上连续,所以f(x)在[0,2]可积.对[0,2]进行n等分,记其分割为T??x0,x1,...,xn?,取?i?为区间?i?[端点，?x?，i?1,2,...,n,。

2. ?S=limf(?i)?x

T??ini?2i,]的右nn2n3.

S???S?lim?f(?i)?x??x2dx?i?1T??i?10nn28. 3

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3、几何学中微元法思想及其应用

3.1定积分中平面图形面积微元法思想及几何应用

3.1.1 微元法求平面图形面积

由曲线y?f(x)，直线x=a, x=b及x轴围成的平而图形的面积S.

在[a,b]上任取长为dx小区间[x,x?dx]，该区间小曲边梯形可近似表示为以f (x)的长度为高以dx为底的乘积，从而面积微元素为dS=f(x)dx, 因此所求的面积为: S??af(x)dx

设平面图形由连续曲线

y?f1(x),y?f2(x)及直线x=a，

y?f2(x) by?f1(x) x=b所围成，并且

f1(x)?f2(x)

x x?dx

如右图所示，求所围平面图形的面积。

取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]，在[a,b]上任取一个小区间[x,x?dx]。由于在[x,x?dx]上f1(x),f2(x)变化很小，故与之对应的小矩形面积?S可以以dx为底，f1(x)?f2(x)为高的小矩形面积来近似替代：

?S?[f1(x)?f2(x)]dx 则平面图形面积的微元为

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dS=[f1(x)?f2(x)]dx 从而所求平面图像的面积为

S??a[f1(x)?f2(x)]dx 例1 计算两条抛物线y?x2与x?y2所围图形的面积。

解 两条抛物线所围成图形如右图，两函数方程联立，解方程组： y?x2 x?y2

得交点（0,0），（1,1）

取x为积分变量，变化区间[0,1]，于是有：

S=?(x?x2)dx

01by?x (1,1) y?x2 22x3 =[x?]33310

=

例2 计算由抛物线y2?2x与y?x?4所围成的平

面图形的面积S 。 解 解方程组： y?2x

213y2?2x （8,4） y?x?4 y?x?4

得两曲线的交点（2，-2），（8,4）。

（2，-2） 14

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