河北师大点集拓扑习题与参考答案(1)(5)

取A0?A，则有?A?AA?A0，由于A0是紧致的，从而是A0的一个紧致子集，易知?A?AA也是X的一个紧致子集. ………8分 31、设f:X?Y是连续的一一对应，其中X是紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，证明f:X?Y是一个同胚映射.

证明：要证明f:X?Y是一个同胚映射， 只需证明f?1:Y?X连续，进而只需证明f是闭映射.设A是X的闭集，由X是紧致空间，从而

A是X的一个紧致子集，故f(A)是Y的一个紧致子集，……4分

由于Y是一个Hausdorff空间，因此f(A)是Y的一个闭集，从而f是闭映射. …………………………………………………………8分 32、Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的紧致子集，证明A是X的紧致子集. 证明：对于A的由X的开集构成的任一开覆盖A ，即A?样，就有A =A?Y ?B?A?B,这

B?A~?A,若令 , 就是(B?Y)A?{B?Y|B?A}?由Y的开集构成的A的一个开覆盖，……………………………3分 由于A是Y的紧致子集，必有有限的子覆盖B1?Y,B2?Y,......Bn?Y,即 A?i?1,2,...n?(Bi?Y)=(i?1,2,...,n?B)?Y,从而A??Bii?1,2,...,ni,于是{B1,B2,...,Bn}

就是A的由X的开集构成的开覆盖，且是A的一个子覆盖，故A为X的紧致子集. ………………………………………………………8分

33、Y是拓扑空间X的子空间，若A是X的紧致子集，证明A是Y的紧致子集. 证明：对A的任意由Y的开集构成的开覆盖B，即A??B,由于Y是

B?BX的子空间，对每一个B?B,必存在X的开集AB，使得B?AB?Y，

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于是{AB|B?B,B?AB?Y}就是A的由X的开集构成的开覆盖，…3分 从而必有有限的子覆盖{AB1,AB2,......ABm}，即 A?Bij?1,2,...,m?A，当然有

A?A?Y?(Bjj?1,2,...,m?A)?Y=

j?1,2,...,m?(ABj?Y)?j?1,2,...,m?Bj，

即 { B1,B2,...,Bm}为A的由Y的开集构成的有限开覆盖， 且为B的子覆盖。故A为Y的紧致子集. ………………………8分 34、设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x?X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U,V使得U?V??.

x?A?.对于每一个y?A,由于X是证明：设A是X的一个紧致子集，

一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域Uy和y的一个开邻域Vy使得Uy?Vy??. ………………………………………………4分 集族{ Vy|y?A }显然是由X中的开集构成的A的一个覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{ Vy1,Vy2,?,Vyn}，令U??Uyi和V??Vy,它

i?1i?1inn们分别是点x和A的开邻域，且易知U?V??. ……………8分 35、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.

证明：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，设对于任意x?A，

有x和A的开邻域U和V使得U?V??， …………………4分 从而U?(A?{x})??，故x?d(A)，所以d(A)?A，即A是一个闭集．………………………………………………………………8分 36、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间．

证明：设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中不属于集合A的任意一点，由于紧致空间中的闭子集是紧致的，所以A是X的一个紧致子集，…………………………………………4分

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从而点x和A分别有开邻域U和V使得U?V??，这说明X是一个正则空间．………………………………………………………8分 37、设X是一个Hausdorff空间．如果A,B是X的两个无交的紧致子集，

则它们分别有开邻域U和V使得U?V??．

证明：设A,B是X的两个无交的紧致子集，对于?x?A，点x和B分别有开邻域Ux,Vx使得Ux?Vx??，……………………………4分 显然集族{ Ux|x?A }是紧致子集A的一个覆盖，它由X中的开集构成，由A是一个紧致子集，所以它有一个有限子覆盖，设为

{Ux1,?,Uxn}，令U??Uxi,V??Vxi，易知U?V??． ……8分

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