高考数学（理）二轮专练：中档小题(3)及答案解析

中档小题(三)

1．(2013·江西省高三上学期七校联考)若集合P＝{x|3

A．(1，9) B．[1，9] C．[6，9) D．(6，9] 2．(2013·荆州市质量检测)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )

A．y＝－2x B．y＝3x C．y＝－3x D．y＝4x

x2y21

3．(2013·南昌市第一次模拟测试)双曲线2－2＝－1(a>0，b>0)与抛物线y＝x2有一个

ba8

23

公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于( )

323A．2 B.

3

32C. D.3 24．(2013·长春市第一次调研测试)若x∈(1，4)，设a＝x，b＝x，c＝lnx，则a、b、c的大小关系为( )

A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 5．(2013·郑州市第二次质量检测)已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向→→

量AB在向量CD上的投影为( )

10210A. B. 55310410C. D. 556．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4，2)，令an＝

1

，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 013＝( )

f（n＋1）＋f（n）

A.2 012－1 B.2 013－1 C.2 014－1 D.2 014＋1 7．(2013·广州市调研测试)在区间[1，5]和[2，4] 上分别取一个数，记为a，b，则方程22xy3

的椭圆的概率为( ) 2＋2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于ab2

115A. B. 2321731C. D. 32328．(2013·郑州市第一次质量检测)把70个面包分五份给5个人，使每人所得成等差数列，

1

且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )

6

A．2 B．8 C．14 D．20

?2x－y＋1>0，

12

23

?

9．(2013·高考北京卷)设关于x，y的不等式组?x＋m<0，

??y－m>0，

表示的平面区域内存在点

P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )

41

A．(－∞，) B．(－∞，)

3325

C．(－∞，－) D．(－∞，－) 33

10．(2013·东北三校第一次联合模拟考试)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最

ππ

大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式

23

中符合条件的解析式为( )

π

A．y＝4sin(4x＋)

6π

B．y＝2sin(2x＋)＋2

3π

C．y＝2sin(4x＋)＋2

3π

D．y＝2sin(4x＋)＋2

6

11．(2013·安徽省“江南十校”联考)从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，则这2人的身高不在同一组内的概率为________．

12．(2013·武汉市武昌区联合考试)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为________．

21

13．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是

33

an＝________.

14．(2013·武汉市高中毕业生调研测试)从圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0外一点P向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|＝|PO|(O为坐标原点)，则

(1)|PT|的最小值为________；

(2)|PT|取得最小值时点P的坐标为________． 备选题 1．(2013·洛阳市统一考试)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为( )

A．4π B．12π C．16π D．64π

2．(2013·海淀区第二学期期中练习)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上

|PF|

的动点，又点A(－1，0)，则的最小值是( )

|PA|

12A. B. 22323C. D. 223．(2013·高考安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．

4．(2013·湖南省五市十校联合检测)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积

π1

a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动．Q

23→→

是函数y＝f(x)图象上的点，且满足OQ＝m?OP＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．

答案：

2a＋1<3a－5??

1．【解析】选D.依题意， P∩Q＝Q，Q?P，于是?2a＋1>3，解得6

??3a－5≤22数a的取值范围是(6，9]．

2．【解析】选A.由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)2

＝3x－2.

又f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.

3

3．【解析】选B.双曲线与抛物线x2＝8y的公共焦点F的坐标为(0，2)，由题意知点(，

3

2)在双曲线上，

a2＋b2＝4??c23∴?1，得a2＝3，故e＝＝. 4a3－＝－122??3ba4．【解析】选B.由于x>1，所以x>x>1，即b>a>1.又1a>c.

→→→→→

5．【解析】选B.依题意得AB＝(2，2)，CD＝(－1，3)，|CD|＝10，AB·CD＝－2＋6

4210→→

＝4，向量AB在向量CD上的投影等于＝. 510

1

1a

6．【解析】选C.由f(4)＝2可得4＝2，解得a＝，则f(x)＝x2.

2

11

∴an＝＝＝n＋1－n，

f（n＋1）＋f（n）n＋1＋n

2

3

12

S2 013＝a1＋a2＋a3＋?＋a2 013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋?＋(2 014－2 013)＝2 014－1.

xy3

7．【解析】选B.方程2＋2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故

ab2

22?a>b

22

??ca2－b23， ??e＝a＝a<2

2

2

?a>b?a>b

?即2，又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，2，化简得??a<4b?a<2b

S阴影1515

如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故所求的概率P＝＝. 42×432

8．【解析】选A.由题意知，中间一份为14，设该等差数列的公差为d(d>0)，则这五份

1

分别是14－2d，14－d，14，14＋d，14＋2d.又(14＋14＋d＋14＋2d)＝14－2d＋14－d，解

6

得d＝6.故14－2d＝2.

9．【解析】选C.

当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此，m<0.

如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．

11

要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝x－1的下

22

12

方即可，即m<－m－1，解得m<－. 23

10．【解析】选D.由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，可知k＝2，A

π2πππ

＝2，由函数的最小正周期为，可知＝，可得ω＝4，由直线x＝是其图象的一条223ω

ππ5π

对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝

326

π

2sin(4x＋)＋2.

611．【解析】身高在[60，70)的男生人数为0.030×10×100＝30，同理[70，80)的人数为20，[80，90]的人数为10，所以按分层抽样选取6人，各小组依次选3人，2人，1人，分别记为a，b，c；A，B，M；从这6人中选取2人共有15种结果，其中身高不在同一组内

11

的结果有11种．故概率P＝.

15

11

【答案】

15

12．【解析】由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为23的圆台，则几何体的全面积S＝π×1＋π×9＋π×(4＋12)＝26π.

【答案】26π

21

13．【解析】当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.

33

当n≥2时，

2121

an＝Sn－Sn－1＝an＋－(an－1＋)

3333

2

＝(an－an－1)， 3

an

∴an＝－2an－1，即＝－2，

an－1

∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，

－－

∴an＝1×(－2)n1，即an＝(－2)n1.

－

【答案】(－2)n1 14．【解析】圆C的标准方程为：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设P(x，y)，由|PT|＝|PO|得(x－3)2＋(y－4)2－1＝x2＋y2，得3x＋4y－12＝0，P的轨迹为直线：3x＋4y－12＝0，当圆心C

123648

到直线的距离最小时，切线PT取最小值，|PT|min＝，此时P点坐标为(，)．

52525

123648

【答案】(1) (2)(，)

52525

备选题 1．【解析】选C.取SC的中点E，连接AE、BE，依题意，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AB＝A，

1

∴BC⊥平面SAB，BC⊥SB，AE＝SC＝BE，∴点E是三棱锥S-ABC的外接球的球心，即

2

11

点E与点O重合，OA＝SC＝SA2＋AC2＝2，球O的表面积为4π×OA2＝16π.

222．【解析】选B.依题意知x≥0，则焦点F(1，0)，|PF|＝x＋1，|PA|＝（x＋1）2＋y2＝

|PA||PA|4x（x＋1）2＋4x，当x＝0时，＝1；当x>0时，1<＝1＋≤

|PF||PF|（x＋1）24x|PA|2|PF|

1＋因此当x≥0时，1≤≤2，≤≤2＝2(当且仅当x＝1时取等号)．|PF|2|PA|（2x）|PF|21，的最小值是.

|PA|23．【解析】设C(x，x2)，由题意可取A(－a，a)，B(a，a)， →→

则CA＝(－a－x，a－x2)，CB＝(a－x，a－x2)，

π→→

由于∠ACB＝，所以CA·CB＝(－a－x)(a－x)＋(a－x2)2＝0，

24

整理得x＋(1－2a)x2＋a2－a＝0， 即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，

?－（1－2a）≥0，

?2

所以?a－a≥0，

??（1－2a）2－4（a2－a）>0，

解得a≥1.

【答案】[1，＋∞) 4．【解析】令Q(c，d)，由新的运算可得

ππ11→→

OQ＝m?OP＋n＝(2x，sin x)＋(，0)＝(2x＋，sin x)，

2332

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