N维空间几何体质心的计算方法(4)

12b a

b a y dx y ydx =??.

例:试求半径为R 的半圆形均匀薄板的重心。 解:由于 2 2R s π= ,1y =

2y =故知重心G 的坐标(,x y 为:

12023222 2 (22 2(40.42332 b R a R x y y dx x s R R x R R R πππ

-= = -=-? = ≈??, 22121(20 b a y y dx y s -= =? .

四.利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心

设有非均匀平面薄板D ,其上每点的密度为(,x y ρρ=,设薄板D 的重心坐标为 (,x y ,考虑D 中微面积dD ,它的微质量为: (,dm x y dD ρ=,它关于y 轴与x 轴的力矩分别为:

(,xdm x x y dD ρ=与(,ydm y x y dD ρ=

把这些微质量的力矩加起来,即得薄板D 关于y 轴与x 轴的力矩为: (,(,D D D

xdm x x y dD x x y dxdy ρρ==??????与 (,(,D D D

ydm y x y dD y x y dxdy ρρ==??????

薄板的总质量,于是根据重心的定义,得求重心坐标的公式: (,(,(2 (,(,D D D

D D D xdm x x y dxdy x m

x y dxdy ydm y x y dxdy y m x y dxdy ρρρρ?? = = ? ? ?

???==???????????????

特别,若薄板是均匀的,即(,x y ρ=常数,则得求均匀薄板重心坐标公式: D xdxdy x D = ??, D ydxdy y D = ??.

对于均匀薄板,我们有 []21( (21((y x b b a y x a D

xdxdy dx xdy x y x y x dx ==-???

??, [][]{} 2211( 2 (((22 21 21((2 y x y x b b a y x a D y x

b a y ydxdy dx ydy dx y x y x dx ??=-??????故 (2 1b a x y y dx x D -= ?, (2 22112b a

== ??? ?

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