N维空间几何体质心的计算方法(3)

i f f x x f f x ξδξξδξξ-?≈ -?∑∑, [][][]1221211 ((((2((i i i i i i c i i i f f f f x y f f x ξξδξξδξξ+-?≈ -?∑∑当 max 0 i x ?→时 取 极 限 , 则 得 [][]2 1

2 1 ((((b a c b a

x f x f x dx x f x f x dx -= -??,

[][][]2121211((((2((b a c b

a f x f x f x f x dx y f x f x dx

+-=-??.这些公式任何均匀的平面图形都适用,可看

出重心的坐标是与密度无关的。例:求抛物线与直线所围成的重心的坐标(如图 解:在这种情况下,

21((f x f x ==因此 0520

235 2 5 a c x a x = = = , 0c y =. 三.重心

1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点,在生产实际中,常常要确定物体的重心。例如:炼钢用钢水包的包轴位置,就与钢水包的重心有关,如果包轴

低于重心,用天平调动钢包时就会翻转,如果包轴高于重心过多,则倒出钢水时翻转困难。因此,我们总是将包轴安装于略高于重心的地方,这时显然需要确定重心的位置。 本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置,显然,若于其重心处支持之,则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。

设均匀薄板是由曲线

1(y y x =,2(y y x =和直线x b =围成的平面图形,我们要求此 平面的重心(,G x y ,用u 表示此薄板单位面积的重量,则微面积 s d 的重量为12(u y y dx -, 其重心G 的坐标为

12 (,

2y y x +,显然整个薄板的重量为12(b a u y y dx -?,由力学知,合力 对任一轴的力矩,等于各分力对该轴力矩之和,取对y 轴的力矩,得 1212((b b a a u y y dx x ux y y dx ??-?=-?? ??,取对x 轴的力矩得 121212((2b b

a a y y u y y dx y u y y dx +??-?=-??? ??,由此两式,即得确定薄板重心坐标的公式: 1 2 121 2 2222

121212((((111((2 2(b b a a b a b b a a

b

a x y y dx x y y dx x s y y dx

y y dx y y dx y s y y dx ?--? == -? ??--?? ==? -?????? ?

其中s 标薄板的面积,由公式(1知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关,而与薄板单位面积的重量无关。

特别,若

2(0y x ≡,则得曲边梯形薄板重心坐标公式: b a

b a xydx x ydx =?? , 2

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