【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得
，则可用n
表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；
（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系． 【解答】解：
（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4； （2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8）， 则BN=n+2，CN=8﹣n． ∵B（﹣2，0），C（8，0）， ∴BC=10，
在y=﹣x2+x+4中令x=0，可解得y=4， ∴点A（0，4），OA=4，
∴S△ABN=BN?OA=（n+2）×4=2（n+2）， ∵MN∥AC， ∴
，
∴∴
==，
，
∵﹣＜0，
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大； （3）当N（3，0）时，N为BC边中点， ∵MN∥AC， ∴M为AB边中点， ∴OM=AB， ∵AB=∴AB=AC， ∴OM=AC．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到△AMN和△ABN的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出AB为OM和AC的中间“桥梁”是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
=
=2
，AC=
=
=4
，
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