毕业论文(3)

当一个坐标系位于另一个坐标系中时，如图2-2所示，通常用三个互相垂直的 单位向量n、o、a表示，这三个变量分别代表法线（normal）、指向（orientation） 与接近（approach）向量（如图2-2所示）。每一个单位向量都可以由它所在参考 坐标系中的三个分量表示，这样，坐标系F FF

F就可以表示为由四个向量组成的矩阵： = 0001xxxx yyyy zzzz noap noap noap?? ?? ?? ?? ?? ?? ??F

（2-3） 图2-2 一个坐标系在另一个坐标系中的表示 式（2-3）中前三个列向量取w=0，表明该坐标系三个单位向量n、o、a的方向。 而第四个列向量中w=1，表示该坐标系相对于参考坐标系的位置。 2.2

坐标系的变换 坐标系的变换包括绕固定参考坐标系的变换和绕运动参考坐标系的变换。 2.2.1 齐次变换 空间中一个坐标系相对于固定的参考坐标系的运动称为齐次变换。齐次变换可

以是平移运动，可以是旋转运动，也可以是平移与旋转的复合运动。 （1） 纯平移齐次变换

如果一个坐标系（它可能表示的是一个物体）在空间运动中相对于固定参考坐

标系的姿态不发生变化，即该坐标系的三个单位向量方向不变，只改变它的坐标原 点位置，则称这种运动为平移运动。如图2-3所示，坐标系｛A｝沿平移向量d平

移到新的位置： 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第7页 T?? ??xyzdddd =

==

= (2-4) 其中,,xyzddd是平移向量

d相对于固定参考系三个坐标轴方向的分量。【7】 图2-3 坐标系的平移 平移后新的坐标系原点位置向量可以表示为原来坐标系的原点位置向量与位

移向量d的矢量和。若采用矩阵形式，新坐标系的矩阵表示可以通过将坐标系左乘 变换矩阵。由于平移过程中方向向量保持不变，所以平移变换矩阵T可以简单地表 示为: 100 010 001

0001 x y zd d T d?? ?? ?? = ?? ??

??

?? (2-5)

可以看到，矩阵的前三列没有旋转运动（等同于单位矩阵），而最后一列表示 平移运动，这个方程可以用符号表示如下：

(,,)

newxyzoldFTransdddF=× (2-6)

即 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第8页 100 010 001

00010001 0001 xxxxx yyyyy new zzzzz xxxxx yyyyy zzzzzdnoap dnoap F

dnoap noapd noapd noapd???? ???? ???? =× ???? ???? ???? ????

?? + ?? + ?? = ?? + ?? ??

?? (2-7) （2） 绕轴纯旋转齐次变换

为了简化旋转变换的推导，假设坐标系｛B｝位于坐标系｛A｝的原点。纯旋转

就是｛B｝坐标系在空间中运动中相对于固定参考坐标系｛A｝的位置不发生变化， 即只改变该坐标系三个单位向量的方向而不改变其原点位置。这样坐标系｛B｝可 以由坐标系｛A｝经过旋转次变换后得到，由此可以推广到其他旋转情况。 设向量x, y, z为坐标系｛A｝的三个单位向量，空间任意一点p的位置可以 用向量p表示。向量p在坐标系｛A｝中的表示为： A

xxyyzzp=pi+pj+pk (2-8) 向量p在坐标系｛B｝中的表示为： Bp

αα=nnoopi+pj+pk (2-9) 则向量B BB BP PP

P在坐标系｛A｝中的投影分别为 ....B

xxxxxPipiiiαα==nnooip+jp+kp (2-10) ....B yyyyyPipiiiαα==

nnooip+jp+kp (2-11) ....B zzzzzPipiiiαα==

nnooip+jp+kp (2-12)

写成齐次矩阵形式则为： 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第9页 0...0 ...0 ...0 1 1

0001xnxox x n y ynyoy o

zznzzo

iiiiii p p

piiiiii p p p iiiiiiα α α?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? = ???? ?? ?? ?? ?? ???? ??

??

???? (2-13) 0...0 ...0 ...0

0001xnxox A

ynyoy B

znzzo iiiiii iiiiii R iiiiiiα α?? ?? ?? = ?? ??

??

?? (2-14)

当坐标系｛B｝只相对于坐标系｛A｝单个轴转动时称为基本变换矩阵。如坐标

系｛B｝只绕坐标系｛A｝的x轴转动角度θ时，基本转动变换矩阵记为Rot(x,θ)， 由式（2-14）可以计算得： 100 (,)0 0RotxCS SC

θθθ θθ?? ?? =? ?? ??

?? (2-15)

可以用同样的方法来分析坐标系｛B｝绕坐标系｛A｝的y轴和z轴旋转的情况， 结果如下： 0 (,)010 0CS Roty SC θθ θ

θθ?? ?? = ??

?? ?

?? (2-16) 0 (,)0 001CS RotzSC θθ θθθ?? ? ?? = ??

??

?? (2-17)

（3） 复合齐次变换

复合齐次变换是有由固定坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移和绕轴

旋转变换所组成的，此时该固定坐标系在参考系中不仅原点位置发生变化，同时它

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