[数学]2012新题分类汇编：解析几何（高考真题+模拟新题）(9)

??y＝k1x－1，

y＝k1x－1，由?解得 2

?y＝x－1????x＝0，?x＝k1，

?或? 2?y＝－1???y＝k1－1.

则点A的坐标为(k1，k21－1)．

111

－，2－1?. 又直线MB的斜率为－，同理可得点B的坐标为??k1k1?k1

2

111?1?1＋k12－＝于是S1＝|MA|·|MB|＝1＋k1·|k1|·1＋2·. 22k1?k1?2|k1|

??y＝k1x－1，22

由?2得(1＋4k1)x－8k1x＝0. 2

?x＋4y－4＝0?

??x＝0，解得?或

?y＝－1?

??

?4k－1??y＝1＋4k.

2

1

21

8k1x＝，1＋4k21

?8k1，4k1－1?.[来源:学科网ZXXK]

则点D的坐标为?2??1＋4k211＋4k1?

－8k14－k211??又直线ME的斜率为－，同理可得点E的坐标为??. 2，k1?4＋k14＋k21?32?1＋k2|k1|11?·

于是S2＝|MD|·|ME|＝. 222?1＋4k1??k1＋4?4S11?4k2因此＝?1＋2＋17. k1?S264?41?174k2＋2＋17＝， 由题意知，?1

k1?3264?

21解得k21＝4，或k1＝. 4

2

1

k2－1

k211

又由点A，B的坐标可知，k＝＝k1－，

1k1k1＋

k13

所以k＝±.

2

33

故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y＝x和y＝－x.

22

课标文数21.H7，H8[2011·湖南卷] 已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

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(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2

→→

与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值．

课标文数21.H7，H8[2011·湖南卷] 【解答】 设动点P的坐标为(x，y)，由题意有?x－1?2＋y2－|x|＝1. 化简得y2＝2x＋2|x|.

当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k， 则l1的方程为y＝k(x－1)．

??y＝k?x－1?，

由?2得 ??y＝4x

k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

4

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋2，x1x2＝

k1.

1

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.

k设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得 x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. →→→→→→故AD·EB＝(AF＋FD)·(EF＋FB) →→→→→→→→＝AF·EF＋AF·FB＋FD·EF＋FD·FB →→→→＝|AF|·|FB|＋|FD|·|EF|

＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 4

2＋2?＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 ＝1＋??k?1

k2＋2?≥8＋4×2＝8＋4?k??

1k2·2＝16. k

1→→

当且仅当k2＝2，即k＝±1时，AD·EB取最小值16.

k

图1－7

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x2y2

课标理数20.H8[2011·江西卷] P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)上一点，

ab1

M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. 5

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为→→→

双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．

x2y2

课标理数20.H8[2011·江西卷] 【解答】 (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线2－2＝1上，

ab

2x0y20有2－2＝1， ab

y0y01c30

由题意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.

a5x0－ax0＋a5

222

??x－5y＝5b，

(2)联立?得4x2－10cx＋35b2＝0，

?y＝x－c?

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?则?35b

xx＝.?4

2

12

5cx1＋x2＝，2

①

??x3＝λx1＋x2，→→→→

设OC＝(x3，y3)，OC＝λOA＋OB，即?

?y3＝λy1＋y2，?

22

又C为双曲线上一点，即x23－5y3＝5b，

有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，

2222化简得：λ2(x21－5y1)＋(x2－5y2)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b.

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，

22222所以x21－5y1＝5b，x2－5y2＝5b.②

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， 得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.

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图1－10

如图1－10，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2

的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

1

(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；

2

(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

课标理数20.H8[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 x2y2b2y2x2

C1：2＋2＝1，C2：4＋2＝1，(a＞b＞0)．

abaa

设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得 ab

t，a2－t2?，B?t，a2－t2?. A??b??a?

132|yB|b23当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝＝＝. 222|yA|a24(2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN

相等，即

b22a22a－ta－tab

＝， tt－a1－e2ab2

解得t＝－22＝－2·a.

ea－b

1－e22

因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以2＜1，解得＜e＜1.

e2所以当0＜e≤当

课标文数21.H8[2011·辽宁卷]

2

时，不存在直线l，使得BO∥AN； 2

2

＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN. 2

图1－9

如图1－9，已知椭圆C1的中点在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2

的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，

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这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

1

(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；

2

(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

课标文数21.H8[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 x2y2b2y2x2

C1：2＋2＝1，C2：4＋2＝1，(a＞b＞0)．

abaa

设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得 ab

t，a2－t2?，B?t，a2－t2?. A??b??a?

13

当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知

222|yB|b23|BC|∶|AD|＝＝＝. 2|yA|a24

(2)t＝0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN

相等，即

b22a22a－ta－tab

＝， tt－a1－e2ab2

解得t＝－22＝－2·a.

ea－b

1－e22

因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以2＜1，解得＜e＜1.

e2所以当0＜e≤当

2

时，不存在直线l，使得BO∥AN； 2

2

＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN. 2

课标理数17.H5，H8[2011·陕西卷]

图1－8

如图1－8，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一4

点，且|MD|＝|PD|.

5

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

5

课标理数17.H5，H8[2011·陕西卷] 【解答】 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，

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