[数学]2012新题分类汇编：解析几何（高考真题+模拟新题）(10)

yP)，

x＝x，??P

由已知得? 5

y＝y，??P4

5?2

∵P在圆上，∴x2＋??4y?＝25， x2y2

即C的方程为＋＝1.

2516

44

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

55设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得

5

2

x2?x－3?＋＝1，即x2－3x－8＝0. 2525

3－413＋41∴x1＝，x2＝.

22∴线段AB的长度为 |AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＝

课标数学18.H8，H10[2011·江苏卷]

?1＋16??x1－x2?2＝

?25?4141×41＝. 255

图1－5

x2y2

如图1－5，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原

42点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

(1)若直线PA平分线段MN，求k的值； (2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d； (3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.

课标数学18.H8，H10[2011·江苏卷] 本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．

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图1－6

【解答】 (1)由题设知，a＝2，b＝2，故M(－2,0)，N(0，－2)，所以线段MN中点的坐标为?－1，－?

2?

.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA2?

2－22

过坐标原点，所以k＝＝. 2－1

(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得 x24x22

＋＝1，解得x＝±， 42324?24

，，A?－，－?. 因此P?3??33??3

4

0＋32?

，0，直线AC的斜率为于是C?＝1， ?3?22

＋332

故直线AB的方程为x－y－＝0.

3

因此，d＝

?2－4－2?

?333?22

12＋12＝3

.

(3)解法一：

x2y2

将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，

42解得x＝±记μ＝2

. 1＋2k22

，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)， 1＋2k20＋μkk

于是C(μ，0)，故直线AB的斜率为＝，

μ＋μ2k

其方程为y＝(x－μ)，

2

代入椭圆方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0， μ?3k2＋2?

解得x＝或x＝－μ，

2＋k2?μ?3k＋2?，μk?. 因此B?2＋k2??2＋k2?

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23

μk3

－μk2＋k2k3－k?2＋k2?1

于是直线PB的斜率k1＝＝222＝－. kμ?3k＋2?3k＋2－?2＋k?

－μ

2＋k2因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. 解法二：

设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)，设直线PB，0－?－y1?y1k

AB的斜率分别为k1，k2，因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝，从而k1k＋1

x1－?－x1?2x12y2－y1y2－?－y1?

＝2k1k2＋1＝2··＋1

x2－x1x2－?－x1?

2222

2y2?x24－42－2y12＋2y2?－?x1＋2y1?＝22＋1＝＝22＝0. x2－x1x2x22－x12－x1

因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.

课标理数18.H8[2011·天津卷] 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，x2y2

F1，F2分别为椭圆2＋2＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．

ab

(1)求椭圆的离心率e；

→→

(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM·BM＝－2，求点M的轨迹方程．

课标理数18.H8[2011·天津卷] 【解答】 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，

c?2c即?a－c?2＋b2＝2c.整理得2??a?＋a－1＝0. cc11得＝－1(舍)，或＝.所以e＝. aa22

(2)由(1)知a＝2c，b＝3c.可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为y＝3(x－c)．

?3x＋4y＝12c，A，B两点的坐标满足方程组?

?y＝3?x－c?.

8

消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，

5

222

?x1＝0，

得方程组的解?

?y1＝－3c，

?x＝5c，?33?y＝5c.

22

8

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833?

不妨设A?c，c，B(0，－3c)．

5??5

833?→→

设点M的坐标为(x，y)，则AM＝?x－c，y－c，BM＝(x，y＋3c).

5??5由y＝3(x－c)，得c＝x－

3

y. 3

833833?→→→→

于是AM＝?BM＝－2， y－x，y－x，BM＝(x，3x)．由AM·

555??15即?

833?833?x＋?y－y－x·x·3x＝－2， 5?5??15?5

化简得18x2－163xy－15＝0.

18x2－1510x2＋53

将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.所以x>0.

316x163x因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x>0)．

x2y2

课标文数6.H8[2011·天津卷] 已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝

ab2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )

A．23 B．25 C．43 D．45

x2y2b

课标文数6.H8[2011·天津卷] B 【解析】 双曲线2－2＝1的渐近线为y＝±x，由双

abapp

曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－＝－2，即p＝4.又∵＋a

22b

＝4，∴a＝2，将(－2，－1)代入y＝x得b＝1，

a

∴c＝a2＋b2＝4＋1＝5，∴2c＝25.

x2y2

课标文数18.H8[2011·天津卷] 设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点

abP(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于5

M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．

8

课标文数18.H8[2011·天津卷] 【解答】 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为|PF2|＝|F1F2|，c?2ccc11所以?a－c?2＋b2＝2c，整理得2?＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝，所以e＝. ?a?aaa22

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(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．

?3x＋4y＝12c，

A，B两点的坐标满足方程组?消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1

?y＝3?x－c?，?x1＝0，8

＝0，x2＝c.得方程组的解?5?y1＝－3c，

222

?

?33?y＝5c.

2

8x2＝c，

5

833?

不妨设A?c，B(0，－3c)，c，

5??5

所以|AB|＝

?8c?2＋?33c＋3c?2＝16c.

?5??5?5

5

于是|MN|＝|AB|＝2c.

8

|－3－3－3c|3|2＋c|

圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝＝. 22

|MN|?22326222

因为d2＋?＝4，所以(2＋c)＋c＝16，整理得7c＋12c－52＝0.得c＝－(舍)，?2?47或c＝2.

x2y2

所以椭圆方程为＋＝1.

1612

2

x2y22y课标理数8.H8[2011·浙江卷] 已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x－＝1有ab4

公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )

13

A．a2＝ B．a2＝13

21

C．b2＝ D．b2＝2

2

y2

课标理数8.H8[2011·浙江卷] C 【解析】 由双曲线x－＝1知渐近线方程为y＝±2x，

4

2

又∵椭圆与双曲线有公共焦点，

22

∴椭圆方程可化为b2x2＋(b＋5)y2＝(b＋5)b2，

联立直线与椭圆方程消y得，x2＝又∵C1将线段AB三等分， ∴1＋22×2

(b2＋5)b2

5b2＋20

. (b2＋5)b2

22a＝， 35b＋20

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