[数学]2012新题分类汇编：解析几何（高考真题+模拟新题）

课标理数15.H1[2011·安徽卷] 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点； ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；

④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．

课标理数15.H1[2011·安徽卷] ①③⑤ 【解析】 ①正确，比如直线y＝2x＋3，不与坐标轴平行，且当x取整数时，y始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y＝3x－3中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，11

它经过无数多个整点；④错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；⑤正确，比

33如直线y＝3x－3只经过一个整点(1,0)．

课标文数17.H2，H5[2011·安徽卷] 设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.

(1)证明l1与l2相交；

(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．

课标文数17.H2，H5[2011·安徽卷] 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识．考查推理论证能力和运算求解能力．

【解答】 (1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.

此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．

??y＝k1x＋1，

(2)(方法一)由方程组?

?y＝k2x－1，?

??

解得交点P的坐标(x，y)为?k＋k

y＝??k－k，2

12

1

2x＝，k2－k1

2?2?k2＋k1?2?而2x＋y＝2k－k＋? ?21??k2－k1??

2

2

222

8＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝22＝22＝1.

k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4

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此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．

??y－1＝k1x，

(方法二)交点P的坐标(x，y)满足?

?y＋1＝kx，?2

1，?k＝y－x

故知x≠0，从而?y＋1

k＝?x.12

y－1y＋1

代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0.

xx整理后，得2x2＋y2＝1，

所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．

课标文数8.B5，H2[2011·北京卷] 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )

A．4 B．3 C．2 D．1

课标文数8.B5，H2[2011·北京卷] A 【解析】 由已知可得|AB|＝22，要使S△ABC＝2，|x＋x2－2|

则点C到直线AB的距离必须为2，设C(x，x)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有＝2，

2

2

所以x2＋x－2＝±2，

当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点； 当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点． 因此满足条件的C点有4个，故应选A.

课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．

17课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 1或 【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率

7必须存在，设为k，则直线l的方程为y＋2＝k(x＋1).又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝17

k＝1或.

7

课标理数20.H2，H9[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．

|k－1＋k－2|

1＋k2＝1－?

22?2

＝，解得?2?2

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→→→

所以MA＝(－x，－1－y)，MB＝(0，－3－y)，AB＝(x，－2)． →→→

再由题意可知(MA＋MB)·AB＝0， 即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0， 1

所以曲线C的方程为y＝x2－2.

4

1

(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，

411

因为y′＝x，所以l的斜率为x0.

221

因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，

2即x0x－2y＋2y0－x20＝0. 则O点到l的距离d＝

12

x＋420

|2y0－x20|

12

，又y＝x－2， 0

40x20＋4

1?x2＋4＋4?所以d＝2＝?0?≥2， 2x0＋4?x0＋42?当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

课标文数12.H2[2011·浙江卷] 若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

课标文数12.H2[2011·浙江卷] 1 【解析】 ∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0，∴1×2－2×m＝0，即m＝1.

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大纲文数11.H3[2011·全国卷] 设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )

A．4 B．42 C．8 D．82

大纲文数11.H3[2011·全国卷] C 【解析】 由题意知两圆的圆心在直线y＝x上，设C1(a，a)，C2(b，b)，可得(a－4)2＋(a－1)2＝a2，(b－4)2＋(b－1)2＝b2，即a，b是方程x2－10x＋17＝0的两根，a＋b＝10，ab＝17，|C1C2|＝2?a－b?2＝2[?a＋b?2－4ab]＝8，故选C.

课标理数17.H7，H3，H4[2011·福建卷] 已知直线l：y＝x＋m，m∈R.

(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； (2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．

课标理数17.H7，H3，H4[2011·福建卷] 【解答】 解法一：

图1－6

(1)依题意，点P的坐标为(0，m)． 0－m因为MP⊥l，所以×1＝－1，

2－0解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)． 从而圆的半径

r＝|MP|＝?2－0?2＋?0－2?2＝22， 故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. (2)因为直线l的方程为y＝x＋m， 所以直线l′的方程为y＝－x－m.

??y＝－x－m，由?2得x2＋4x＋4m＝0. ?x＝4y?

Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．

①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切； ②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切． 解法二：

(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.

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2

2

4＋m＝r，??

依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则?|2－0＋m|

＝r，?2?

?m＝2，

解得?

?r＝22.

所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. (2)同解法一．

图1－4

课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 如图1－4，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2

＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

??y＝x＋b，课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 【解答】 (1)由?2得x2－4x－4b＝0.(*)

?x＝4y?

因为直线l与抛物线C相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0. 解得b＝－1.

(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0. 解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1， 故点A(2,1)．

因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

图1－2

课标理数14.H3[2011·湖北卷] 如图1－2，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标

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