由题意得x3＝－(x1＋x2)＝－所以点P的坐标为?－2，y3＝－(y1＋y2)＝－1. 2
?
2?，－1. 2?
2
2??2y经验证，点P的坐标－，－1满足方程x＋＝1，故点P在椭圆C上．
2?2?
(2)证明：由P?－?
2??2，1?，PQ的垂直平分线l的方程为y＝－2
，－1和题设知Q1
22??2?
x.①
设AB的中点为M，则M?2121?，，AB的垂直平分线l2的方程为y＝2x＋4.② ?42?
由①、②得l1、l2的交点为N?－?
21?，. 88?|NP|＝
?－2＋2?2＋?－1－1?2＝311，
8?88???2
32， 2
|AB|＝1＋?－2?2·|x2－x1|＝|AM|＝
32
， 4
|MN|＝?2＋2?2＋?1－1?2＝33，
88??28??4
311， 8
|NA|＝|AM|2＋|MN|2＝故|NP|＝|NA|.
又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|， 所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．
y2
大纲文数22.H8，H10[2011·全国卷] 已知O为坐标原点，F为椭圆C：x＋＝1在y
2
2
轴正半轴上的焦点，过F且
图1－4
→→→
斜率为－2的直线l与C交于A、B两点，点P满足OA＋OB＋OP＝0.
第 36 页 共 86 页
(1)证明：点P在C上；
(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 大纲文数22.H8，H10[2011·全国卷]
y2
【解答】 (1)证明：F(0,1)，l的方程为y＝－2x＋1，代入x＋＝1并化简得
2
2
4x2－22x－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)， 则x1＝x1＋x2＝
2－62＋6
，x2＝， 44
2
，y1＋y2＝－2(x1＋x2)＋2＝1， 2
2
，y3＝－(y1＋y2)＝－1. 2
由题意得x3＝－(x1＋x2)＝－所以点P的坐标为?－?
2?，－1. 2?
2
2??2y经验证，点P的坐标－，－1满足方程x＋＝1，故点P在椭圆C上．
2?2?
(2)证明：由P?－?
2??2，1?，PQ的垂直平分线l的方程为y＝－2
，－1和题设知Q1
22??2?
x.①
设AB的中点为M，则M?2121?，，AB的垂直平分线l2的方程为y＝2x＋4.② ?42?由①、②得l1、l2的交点为N?－?
21?，. 88?|NP|＝
?－2＋2?2＋?－1－1?2＝311，
8?88???2
32， 2
|AB|＝1＋?－2?2·|x2－x1|＝|AM|＝
32
， 4
|MN|＝?2＋2?2＋?1－1?2＝33，
88??28??4
311， 8
|NA|＝|AM|2＋|MN|2＝故|NP|＝|NA|.
又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|， 所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．
第 37 页 共 86 页
1
课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y＝x2，
4实数p，q满足p2－4q≥0，x1，x2是方程x2－px＋q＝0的两根，记φ(p，q)＝max{|x1|，|x2|}．
1?
p0，p2(1)过点A?40?(p0≠0)作L的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上的任一点Q(p，?|p0|
q)，有φ(p，q)＝；
2
(2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2－4b>0，a≠0.过M(a，b)作L的两条切线l1，1?12??p1，p2l2，切点分别为E?1，E′p2，p2，l1，l2与y轴分别交于F、F′.线段EF上异于两4?4???|p1|
端点的点集记为X.证明：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a，b)＝；
2
?125????y≤x－1，y≥(3)设D＝?x，y??4?x＋1?－4?.当点(p，q)取遍D时，求φ(p，q)的最小?
值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．
11
课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 【解答】 (1)证明：切线l的方程为y＝p0x－p2.
240|p|＋p2－4q|p|＋?p－p0?2?Q(p，q)∈AB有φ(p，q)＝＝. 22p＋p0－pp0|p0|
当p0>0时，0≤p≤p0，于是φ(p，q)＝＝＝；
222－p＋p－p0－p0|p0|
当p0<0时，p0≤p≤0，于是φ(p，q)＝＝＝. 22211112
(2)l1，l2的方程分别为y＝p1x－p21，y＝p2x－p2. 2424求得l1，l2交点M(a，b)的坐标?
p1＋p2p1p2?
?2，4?.
由于a2－4b>0，a≠0，故有|p1|≠|p2| . ①先证：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|. (?)设M(a，b)∈X.
p1＋p2
当p1>0时，0< 2|p1|>|p2|； p1＋p2 当p1<0时，p1<<0?2p1 2|p1|>|p2|. p2?p1＋p2p2(?)设|p1|>|p2|，则?<1?－1<<1?0<<2. ?p1?p1p1p1＋p2当p1>0时，0< 2 第 38 页 共 86 页 p1＋p2p1<<0， 2 注意到M(a，b)在l1上，故M(a，b)∈X. |p1| ②次证：M(a，b)∈X?φ(a，b)＝. 2 |p1| (?)已知M(a，b)∈X，利用(1)有φ(a，b)＝. 2|p1| (?)设φ(a，b)＝，断言必有|p1|>|p2|. 2 若不然，|p1|<|p2|.令Y是l2上线段E′F′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M(a，b)∈Y.再由(1)得φ(a，b)＝X. |p1| 综上，M(a，b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a，b)＝. 2 15 (3)求得y＝x－1和y＝(x＋1)2－的交点Q1(0，－1)，Q2(2,1)．而y＝x－1是L的切点 44为Q2(2,1)的切线，且与y轴交于Q1(0，－1)，由(1)?Q(p，q)∈线段Q1Q2，有φ(p，q)＝1. 1515 当Q(p，q)∈L1：y＝(x＋1)2－(0≤x≤2)时，q＝(p＋1)2－，∴h(p)＝φ(p，q)＝ 4444p＋p2－4qp＋4－2p4－2p－13 ＝(0≤p≤2)，在(0,2)上，令h′(p)＝＝0得p＝，由于h(0)22224－2p3?5＝h(2)＝1，h??2?＝4， 5 ∴h(p)＝φ(p，q)在[0,2]上取得最大值hmax＝. 415 ?(p，q)∈D，有0≤p≤2，(p＋1)2－≤q≤p－1， 44p＋p2－4q 故φ(p，q)＝≤ 2p＋15?p＋1?2－?p2－4?4??4 2 |p2||p1| ≠，矛盾．故必有|p1|>|p2|.再由等价式①，M(a，b)∈22 ＝ p＋4－2p5 ≤hmax＝， 24 p＋p2－4qp＋p2－4?p－1?p＋?p－2?2p＋2－p φ(p，q)＝≥＝＝＝1， 22225 故φmin＝1，φmax＝. 4 第 39 页 共 86 页 x2y2 课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 如图1－9，椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的离心 ab率为 3 ，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长． 2 (1)求C1，C2的方程； (2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E. ①证明：MD⊥ME； S117 ②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得＝？请说明理 S232由． 图1－10 c3 课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由题意知，e＝＝，从而a＝ a22b.又2b＝a，解得a＝2，b＝1. x22 故C1，C2的方程分别为＋y＝1，y＝x2－1. 4 (2)①由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx. ??y＝kx，由?得x2－kx－1＝0. 2 ?y＝x－1? 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两个实根， 于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1. 又点M的坐标为(0，－1)，所以 kMA·kMB＝ y1＋1y2＋1?kx1＋1??kx2＋1? ·＝ x1x2x1x2 k2x1x2＋k?x1＋x2?＋1 ＝ x1x2－k2＋k2＋1＝＝－1. －1故MA⊥MB，即MD⊥ME. ②设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为 第 40 页 共 86 页 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库[数学]2012新题分类汇编：解析几何（高考真题+模拟新题）(8)在线全文阅读。
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