惠州市2015届高三第三次调研考试(理数)(3)

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（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程为24x a t

y t

=-???

=-??（t 为参数），圆C 的

参数方程为4cos 4sin x y θ

θ

=???=??（θ为参数）．若直线l 与圆C 有公共点，则实数a 的取值范

围是__________．

15．（几何证明选讲选做题）如图1，点,,A B C 都在圆O 上，

过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若5AB =，

3BC =，6CD =，则线段AC 的长为__________．

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

已知函数()sin()f x A x ω?=+，x ∈R （其中ππ0,0,22

A ω?>>-<<），其部分图像如图2所示．

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点

,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．

17．（本小题满分12分）

惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球

的概率．

A

C

B D

O 图1

图2

4 参考公式：互斥事件加法公式：()()()P A

B P A P B =+（事件A 与事件B 互斥）． 独立事件乘法公式：()()()P A

B P A P B =?（事件A 与事件B 相互独立）． 条件概率公式：()(|)()

P AB P B A P A =

．

18．（本小题满分14分） 三棱柱111ABC A B C -的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，D 为AC 的中点．

（1）求证：1

AC ⊥平面1BDC ； （2）求二面角1A BC D --的正切值．

19．(本小题满分14分)

已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．

若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．

正视图 侧视图

D A B C 1A 1C 1B

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