20【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——数列(6)

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选取关于n 的一个多项式，24(1)n n -做两种途径的分解

2

2

2

4(1)(22)(22)(22)(22)n n n n n n n n -=-+=-+2

4(1)n n -

对比目标式，构造222211(4)21n n n

a n n

b n n

c n n ?=--?

=+≥??=+-?，由第一问结论得，等差数列成立，

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。 任取正整数m ，n ，若△m

，

△

n

相似：则三边对应成比例

2

2

2

22

22112121

1

21

m m m m m n n n n n --++-=

=--++-，

由比例的性质得：111

1

m m m n n n -+=?=-+，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

（2010安徽文数）（21）（本小题满分13分)

设12,,,,n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线

33

y x =

相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互

外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列. (Ⅰ)证明：{}n r 为等比数列；

（Ⅱ）设11r =，求数列{}n n

r 的前n 项和.

【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.

【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设n C 的圆心为(,0)n λ，得2n n r λ=，同理得112n n r λ++=，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{}n r 中1

n r +与n r 的关系，证明{}n r 为等比数列；（2）利用（1）的结论求{}n r 的通项公式，代入数列n

n r ，

然后用错位相减法求和.

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