20【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——数列(13)

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已

知

集

合

12

1

{|(,,),

{0,

1},

1

,

2

,

n n S X

X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…

A 与

B 之间的距离为111

(,)||i d A B a b -=

-∑

（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ?，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d

(P).

证明：

d

（P ）≤

2(1)

m n m -.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ 因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈

又1

(,)||||||n

i

i i i i d A C B C a

c b c =--=

---∑

由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;

当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-

所以1

(,)||(,)n

i

i i d A C B C a

b d A B =--=

-=∑

(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ (,)d A B k =

，(,)d A C l =，(,)d B C h =.

记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知

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