2012年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷2(4)

很好

因此有

2x0

2

2y0

4

1 1

22

，可解得x0 1,y0 2，相应地有 z0 x0 y0 5.

故所求的切平面方程为2(x 1) 4(y 2) (z 5) 0，即 2x 4y z 5. 四、综合题 1、S 2

12

a(1 cos )d 8a

'

222

3 1 32

a 4 222

2、fx' 2x y 1，fy 2y x 1

f

''

yy

2，f

''xy

1，f

''xx

'

fx 2x y 1 0

得驻点(1,1) 2；令 '

fy x 2y 1 0

在驻点(1,1)处有 B2 4AC 1 4 3 0,A 2 0 故f(x,y)在点(1,1)取得极小值f(1,1) 1. 五、证明题

1、证明：设f(x) ex 1 x，f'(x) ex 1

f(x)在 0, 上连续，在 0, 内f(x) 0，因此

'

f(x)在 0, 为单调递增，从而x 0时，f(x) f(0)

由于f(0) 0，故f(x) f(0) 0，即ex 1 x 0 亦即x 0时，ex x 1.

2、（致远提醒本题至少有三种证法，这里给出其中一种） 证明：对函数lnx在[a,b]上应用拉格朗日定理，得

lnb lna

lntt

2

22

2ln

(b a), a b；

1 lntt

2

设 (t) ，则 (t) ，

当t e时， (t) 0, 所以 (t)单调减小， 从而 ( ) (e)，即 ln

lnee

22

2

2e

2

，

4e

2

故 lnb lna

22

(b a).

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