高等代数论文(9)

高等代数论文

证明：取e

bc add b

0

，则：

a eb

c ed

ad bcbd

e

d bbd

0

问题1的反例如下：

2332

取A ，f(x) x 15，则f (x) 3x，A ，A ，

12 35 813

11 23 58

可得trf(A) 48,f(trA) 57,trf (A) 21,f (trA) 27

显然有

trf(A)trf (A)

f(trA)f (trA)

。

这里说明一下构造反例的思路：在不等式（Ⅲ）中，由引理3.2知：A n,m 2,n 1时，f(x) amxm,am 0则有：trf (A) f (trA)，且（Ⅲ）式仅能取小于号。因此先令

f(x) amx a0，再任意取am 0,A ,m 3的值，可得

m

n

tr(amA)tr(amA)

m

m

am(trA)

m

(am(trA))

m

，且tr(amAm) (am(trA)m)

m

m

然后结合引理3.1及3.3，取a0 的反例f(x) amxm a0。

问题2的反例如下：

tr(amA) am(trA) tr(amA)(a(m

m

trA))

m

mm

amtr(amA)((trA))

，即可得所要

取m 2，A1 diag( 1 n),A2 diag( 1 n), i, i 0,i,j 1, n，用R表示（Ⅳ）中两式的关系，则（Ⅳ）变为：

m

m

2

i

m2i

2i

m

m

2i

i 1mi 1

2i

R

i 1m

i

i 1m

改为：

i

i 1m

2i

i 1

2i

i

i

m

2i

R

i 1m

im

i

（Ⅴ）式

i

i

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

取 1 2, 2 3, 1 4, 2 5，（Ⅴ）式左边值取 1 10, 2 11, 1 5, 2 4，则左边值为

289

533

44369061

，右边值为，右边值为

234594

，则R取“>”; ，则R取“<”.

189

这两个反例都说明了文[10]的两个假设都是不成立。

参考文献:

[1]张禾瑞 近世代数基础（1978年修订本）[M] 高等教育出版社 123~135 [2]樊恽（等主编）代数学辞典 华东师范大学出版社（94年版） 355~555

[3]郭忠海 矩阵多项式可逆性判别及矩阵逆的求法 [J] 电力学报 2003，18[2]，98~99。

[4]赵晓萍 贝淑坤 李立斌 矩阵多项式的逆 [J] 吉林师范学院学报 1999-5，20[3]，9~10。

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