高等代数论文(2)

高等代数论文

显然P(A) Mn(P)，并且Mn(P)是P上n2维线性空间，下面就先探讨P(A)的空间结构：

引理1.1：Dmn(P)关于矩阵加法和乘法构成域。

证明：由数量矩阵加法和乘法性质以及按照域的定义即可得，事实上它与数域P同构。

引理1.2：A是域Dmn(P)上的一个代数元，从面dmp(A)是Dmn(P)上的一个单代数扩域，其中A在Dmn(P)上的极小多项式就是矩阵A的最小多项式。

证明：由矩阵A最小多项式定义、代数元定义以及单代数扩域定义即可得。 引理1.3： dmp(A)中任一元都可以唯一地表成 (aiE)Ai，（aiE DmP(,)iPa n

i 0m 1

）

的形式,这里m是gA(x)的次数，要把这样的两个多项式f(A)与g(A)相加，只要把相应的系数相加；f(A)与g(A)的乘积等于r(A)，这里r(x)是用gA(x)除f(x)g(x)所得余式。 这里f(x),g(x),gA(x),r(x) Dmn(P)，并且gA(x)为A的极小多项式。

证明：这是[1]中第156页定理2的直接推论。

引理1.4：dmp(A)是Dmn(P)上的m次扩域，从而dmp(A)是Dmn(P)上的m维线性空间，并且其一组基为E,A, Am 1。

证明：这是文[1]中第162页定理2直接推论。

从集合关系来看：P(A) dmp(A)，而(aE)A aE,a P,因此由引理1.3及1.4得： 定理1.1：P(A)是P上的m维线性空间，其一组基为E,A, Am 1；并且P(A)中任一元都可以唯一地表成 aiAi，ai P的形式,这里m是gA(x)的次数，要把这样的两个多项

i 0m 1

式f(A)与g(A)相加，只要把相应的系数相加；f(A)与g(A)的乘积等于r(A)，这里r(x)是用gA(x)除f(x)g(x)所得余式.。

事实上定理1可用直接用带余除法，矩阵多项式定义，以及矩阵最小多项式性质证得，但本文这样推导，主要是突出近世代数的知识在高等代数中的具体应用。

显然P(A)的维数是m n,m 0，因此我们有： 定理1.2：P(A)是Mn(P)中m维真子空间（n 2）。 显然当n 1时：P(A)=Mn(P)。

另一方面，我们知道Mn(P)关于矩阵加法和乘法构成环。因此下而探讨P(A)代数结构： 引理1.5：P(A)是Mn(P)的交换子环。 这是文[11]的一个引理。

引理1.6： (gA(x)) 1 P(A) Dmn(P)从而P(A)是一个域。

证明：先证明充分性：由 (gA(x)) 1，由定理1.1知P(A)中任一元素都是数量阵，故：P(A) Dmn(P)。显然Dmn(P) P(A)。故Dmn(P) P(A)。由引理1.1，知从而P(A)是一个域。

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