高等代数论文(8)

高等代数论文

trf(AB) f(trAtrB) trf(A)f(B) f(trA)f(trB)

命题3.7： A ,f(x)

n

x，若tr(A) 1，则有：

k

k 0

m

1

1 (A)

limtrf(A)

m

11 trA

命题3.8: A n，若数列{ak}有界，则当 (A) 1时，级数 aktrAk绝对收敛。

k 0

命题3.9： Ak n(k 1,2, ,m),f(x) R [x],有

m

tr( (f(Ak))

i 1m

2

m

tr f(Ak)

i 1

i 1

tr(f(Ak))tr(f(Ak)

2

命题3.10： A n及f(x) amxm,am 0或a2x2 a1x a0 R [x]有

trf(A)trf (A)

f(trA)f (trA)

（Ⅲ）

其中f (x)表示f(x)的导函数。 文[10]中提出两个问题：

“问题1：命题3.10是否对于 f(x) R [x]均成立？ 问题2： Ak n(k 1,2, ,m),及f(x) R [x],是否有：

m

tr( f(Ak))

i 1m

2

m

（或 ）

i 1

tr((f(Ak))trf(Ak)

2

（Ⅳ）

tr f(Ak)

i 1

其中 表示同类因子乘积。”本文指出两个命题均不成立。首先给出下面引理： 引理3.1：tr( f(A) g(A)) tr(f (A)) tr(g (A))。 证明：由矩阵多项式定义与多项式导数关系可知这是显然的。

引理3.2： A n,n 1有： k N,k 1,trAk (trA)k.从而当f(x) R [x]且

(f(x)) 1时，有：trf(A) f(trA)

n

n

k

i

证明：设A的特征根为 1, 2 n 0,则trA

k

n

ki

n

i 1

,(trA) ( i)

i 0

kk

显然,当

n 1, i 0,i 1 n时，有 ( i)k

i 1

i 0

，故trAk (trA)k。

当f(x) R [x]，且 (f(x)) 1时，由命题3.1及trAk (trA)k知

trf(A) f(trA)

a eb

c ed

引理3.3： b,d,a,c, 0:

ab

cd

，b d，则 e 0:

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