山西省应县第一中学校2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题(7)

7 又(0)8,(3)98f c f c ==+ .

则当[]0,3x ∈时, f ()x 的最大值为(3)98f c =+. 因为对于任意的[]0,3x ∈,

有2()f x c <恒成立,

所以298c c +<,

解得1c <-或9c >,

因此c 的取值范围为(,1)(9,)-∞-?+∞.

22．【解】 (1)由|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|BF 1|＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.

(2)设|BF 1|＝k ，则k >0，且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得

|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .

在△ABF 2中，由余弦定理可得

|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2

－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，

即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，

而a ＋k >0，故a ＝3k ，

于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .

因此|BF 2|2＝|AF 2|2

＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，

故△AF 1F 2为等腰直角三角形．

从而c ＝2

2a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝2

2.

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