2015高考数学(理)二轮专题复习作业：专题一 第二讲 函数、基本初(8)

11．已知函数f(x)＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性．

(2)是否存在实数t ，使不等式f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．

解析：(1)∵f(x)＝e x

－? ????1e x ，且y ＝e x 是增函数， y ＝－? ??

??1e x 是增函数，∴ f(x)是增函数． ∵f(x)的定义域为R ，

且f(－x)＝e －x －e x ＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，

由f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对x ∈R 恒成立，

则f(x －t)≥f(t 2－x 2)．

∴t 2－x 2≤x －t x 2＋x ≥t 2

＋t 对x ∈R 恒成立 ? ????t ＋122≤

? ????x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立? ????t ＋122≤0t ＝－12.

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