小学奥数知识点及公式总汇（必背）(6)

九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦!得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱。看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数字10差1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽。可你要知道，你这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳而已!要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，无论是那个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研。 1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 =98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 =11 12 x 9 + 3 =111 123 x 9 + 4 =1111 1234 x 9 + 5 =11111 12345 x 9 + 6 =111111 123456 x 9 + 7 =1111111 1234567 x 9 + 8 =11111111 12345678 x 9 + 9 =111111111 123456789 x 9 +10=1111111111 很炫，是不是？ 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 12345432 1111111 x 111111 = 1234565432 11111111 x 1111111 = 123456765432 111111111 x 11111111 = 12345678765432 1111111111 x 111111111 =12345678987654321

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再看看這個對稱式 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888

***缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：

1/81＝0.012345679012345679012345679??，缺8数和1/81的循环节有关。 在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？

我们看到，1/81＝1/9×1/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9＝0.111111111??

1/9×1/9，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：

很明显，11的平方＝121，111的平方＝12321，??，直到111111111的平方12345678987654321。

但现在是无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？ 缺8数隐藏在循环小数里

利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。 那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为： 1/81×9＝1/9＝0.111111111??

缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：

1/81×3＝1/27＝0.037037037??，一开始就出现了三位的循环节。

缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走马灯”了。

循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。

缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到： 12345679×4＝49382716 12345679×5＝61728395

前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中应有之义）

这样的“回文结对，携手并进”现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、

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41）等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如： 12345679×22＝271604938 12345679×23＝283950617

前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。（后一式的2移到后面，并5代以4）

走马灯

当缺8数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如：

12345679×19＝234567901 12345679×28＝345679012 12345679×37＝456790123

深入的研究显示，当乘数为一个公

差等于9的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如： 12345679×8＝098765432 12345679×17＝209876543 12345679×26＝320987654 12345679×35＝432098765

一以贯之

当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如： 乘数为9的倍数

12345679×243＝2999999997

只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。 乘数为3的倍数，但不是9的倍数 12345679×84＝1037037036

只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现“三位一体”。 乘数为3K＋1或3K＋2型 12345679×98＝1209876542

表面上看来，乘积中出现雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，仍是轮流“休息”。

轮流休息

当乘数不是9或3的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘数在区间［10，17］的情况（其中12和15因是3的倍数，予以排除）： 12345679×10＝123456790（缺8） 12345679×11＝135802469（缺7） 12345679×13＝160493827（缺5） 12345679×14＝172839506（缺4）

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12345679×16＝197530864（缺2） 12345679×17＝209876543（缺1）

乘数在［19，26］及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不多也不少，实在有趣。 三位一体

缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数，可以得到“三位一体”，例如： 12345679×12＝148148148 12345679×15＝185185185 12345679×33＝407407407 12345679×57＝703703703 12345679×78＝962962962

清一色

缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”，例如： 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×36＝444444444 12345679×45＝555555555 12345679×54＝666666666 12345679×63＝777777777 12345679×72＝888888888 12345679×81＝999999999

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速算公式

【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为

（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc =10a+10a（b+c）+bc =100a2+100a+bc ＝a（a+1）×100+bc。

根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。 例如，72×78=（7×8）×100+2×8 =5616

45×45=（4×5）×100+5×5 =2025

首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如 256×254

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