小学奥数知识点及公式总汇（必背）(4)

32．浓度与配比

经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。 溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。 溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。 基本公式：

溶液重量=溶质重量+溶剂重量； 溶质重量=溶液重量×浓度； 浓度=（溶质／溶液）×100% 溶剂=溶液×（1-浓度）

理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。

经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。 33．经济问题

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%； 卖价=成本×（1+利润的百分数）； 成本=卖价÷（1+利润的百分数）； 商品的定价按照期望的利润来确定； 定价=成本×（1+期望利润的百分数）； 本金：储蓄的金额； 利率：利息和本金的比； 利息=本金×利率×期数；

含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）； 34．简单方程

代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。 方程：含有未知数的等式叫方程。

列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。 列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。

等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个数（除0），等式不变。

移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；

移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。 加去括号规则：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“－”号，添、去括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－”的，都按有“+”处理。

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移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。 乘法分配率：a(b+c)=ab+ac

解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤求解； 方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。 解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方程步骤。 消元的方法：①加减消元；②代入消元。 35．不定方程

一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程； 常规方法：观察法、试验法、枚举法；

多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可； 涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；

解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；

技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数； 36．循环小数

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 二、分数转化成循环小数的判断方法：

①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。

*** 1至30的平方

1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=361 20*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900

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*** 世界上最神奇的数字是1除以7的循环节：142857

1/7=0.142857 142857 142857............它神奇在哪里呢？

1、我们把它从1乘到6看看

142857 X 1 = 142857 1→4→2→8→5→7 142857 X 2 = 285714 2→8→5→7→1→4 142857 X 3 = 428571 4→2→8→5→7→1 142857 X 4 = 571428 5→7→1→4→2→8 142857 X 5 = 714285 7→1→4→2→8→5

142857 X 6 = 857142 8→5→7→1→4→2 同样的6个数字，只是依此调换了位置，反复出现。

2、我们从1乘到6除以7看看 1/7=0.142857... 2/7=0.285714... 3/7=0.428571... 4/7=0.571428... 5/7=0.714285... 6/7=0.857142.

1，3，5分别除以7所得商的规律是循环节的最高位后移，后面的前移。 2，4，6分别除以7所得商的规律是循环节的前两位后移，后面的前移。 3、那么把它乘以7是多少呢？我们会惊人的发现是999999

4、142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 1+4+2+8+5+7=9+9+9

5、我们用 142857 乘以142857=20408122449 前五位+上后六位的得数是多少呢？ 20408 + 122449 = 142857

“142857”发现于埃及金字塔内，它确实是一组神奇的数字。

*** 数学小故事：神奇美妙的“9 ”

九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天”、“九重”、“九霄”;将地划为“九州”、“九域 ”;将宗庙称为“九庙”;道路谓之“九陌”;山有“九崇”;水曰“九河”;地有“九泉”;人分“九级”;官为“九品”。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位;作为一个数学爱好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。

《易经》上说，九数含有吉祥的意思，如果按照“阴阳”来说，奇数为阳，偶数为阴，而九是阳数中最大的，称为“极阳数”。十是一个完美的数字，而九接近十而不到

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十，具有很强的倾向性，一位数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个原因，九有其最多的奇妙特点，最多的趣味性质。

九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的余数，则只要将这个数各位数字相加，其和如果仍是两位以上的数，则再将这个和的各位数字相加，最后所得的一位数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点，总使数学爱好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常用“凑九”法验算学生的算式是否有误，而“凑九”法就是采纳了这一原理。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。

八位数12345679，如果将它同九相乘，奇怪的很，其积竟是全由1组成的数字111111111;如再乘18(九的2倍)，可得九个2，乘27(九的3倍)，可得九个3??，直到乘81，就可以得到九个9.这种整齐统一的特点，给人以多么美妙的印象啊!也许有人要问为什么把8去掉，填上会有规律吗?若把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用九去乘，还有规律吗?答案是肯定的。九这个数字就是这么神奇，我们来看下列算式：

纵观上面九个算式，不仅算式的结果很有规律，且积的数字之和都为九。第一个算式到第九个算式的变化，更能显示出奇妙无比的秩序美。

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如果你随便找来一个两位以上的自然数，比如是317，将此数打乱，变成173、731、713吧，我们现在求出新数与原数的差，你猜会有什么结论?这些差144、414、396竟然全是九的倍数。在这里，无论是定数字，还是打乱所找数字的顺序，都是多么的随心所欲啊!可是在这种繁乱中竟能出现规律，这种规律的主宰者却是九。假如再随意找一个两位以上的数，比方418，①先将它的各位数字之和求出;②用原数减去其数字之和(418-18)，其差405也是九的倍数。

下列算式的确是种简明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的结果竟然是一个常数，且还是九的倍数，如所选的数是4位、5位，是否还有规律呢?我们敢于肯定地说，九的奇妙一定处处再现，无论是多少位，九的统一美的光芒定会时时闪耀。 九是一个神奇的反序数，在算式1089×9=9801中可知，九乘某一个数字，能使其顺序正好颠倒过来。从算式123456789×8+9=987654321中也可知，九加某数也竟能使其顺序颠倒;九也是一个神圣的自补数，因为92=81，1+9=10;992=9801，

1+99=102;9992=998001，1+999=103;??又99×47=4658，而53+47=102，999×321=320679，而670+321=103，九又是一个神秘的自生数，93=729，993=970299，

9993=997002999;九也是一个奇妙的再植数，从算式109890×9=989010中看出，9竟然将这个数的最高两位变成最低两位。九还是有趣的勾股数中不可缺少的成员：

2+402=412、92+122=152、而40+41=92、12+15=33=3×9.啊!九的奇特，操纵着无数数学运算和游戏，它不愧为一位伟大的魔术师。

在除法中，九的奇异也使人迷恋。看下列等式：1/9=0.111??，2/9=0.222??，8/9=0.888??，多有规律啊!在化循环小数为分数时，九又是大显神手，10是完美的数字，对于10，9和11是对称的，这种对称下也隐藏着许多秘密：1/11=0.09，2/11=0.18，3/11=0.27，?，9/11=0.81，10/11=0.90，真巧，分母含11的倍数，化成循环小数，其循环节的两个数竟然也是九的倍数。 九，在代数的世界里留有神奇的足迹??

九的有趣性质简直是太多啦!实在是举不胜举。这么独特的数字，难怪人们特别喜欢它，非常崇拜它。正值冬天时，人们不数3，也不数10，偏偏数九：“头九不算九;二九冻死狗;三九、四九掩门唤狗;五九、六九水走头;七九、八九河边看柳;九九又一九，犁牛遍地走”。重阳节是双九，人们十分重视这个节日，因为“九月九”家家有，此时正是收获的季节。

唐代诗人孟浩然写出“待到重阳日，还来就菊花”的诗句，至今一直被文人墨客所称道。用九来起名的我国古代数学家泰九韶，所著的书名是《算术九章》，而书中共分九大类，每类又有九道题，他简直是九的又一个崇拜者。

过去北京的许多建筑都和“九”这个数目有关。例如，北京城内最早是九个城门，天安门的城楼是九重楼，故宫四个角楼的结构是九梁十八柱，皇家建筑物大门上的钉数是纵九横九，北海和故宫的九龙壁，都是九只龙，更有趣的是天坛有个历代皇帝祭天的地方，无论是洁白的石栏杆，或是圆台上磨平的石块，其数目都和九字有关。在改革之年，我相信人们将会以九牛二虎之力，去九天 、到九州探宝，朝着九千九百九十九的通天大路奋勇向前。

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