值。
下面以氢原子为例，具体求解。 已知氢原子中V(r) e
2
r，则具有一定角动量的氢原子的径向方程为
l [
2
2
(E
e
2
r
)
l(l 1)r
2
] l 0
在原子物理中，对于上式，可采用自然坐标（在计算过程中令 e 1，然后在计算所得最后结果中按个物理量的量纲添上相应的自然单位），则上述方程可表示为 l [2E 其中r 0, 是方程的两个奇点。
首先考虑当r 0时，方程（1.4）可渐进地表示为
2r)
l(l 1)r
2
] l 0 （1.4）
l
l(l 1)r
2
l 0
可解得 l(r) rl 1，r l
0
物理学上的渐进行为满足 l(r) r 0，所以得到
l(r) rRl(r) r
l 1
(r 0)
其次考虑当r 时，我们限于讨论束缚态（E 0），则方程（1.4）可变化为
l 2E l 0
则 l(r) exp( 2Er)，再考虑束缚态边界条件下渐进行为满足 l(r) 0，则
r
l(r) rRl(r) exp( 2Er) (r )
由此，可令
l(r) r
l 1
e
r
ul(r) 其中 2E
重新代入方程（1.4）可得：
rul [2(l 1) 2 r]ul [2(l 1) 1]ul 0
再令 2 r，则
duld
22
[2(l 1) ]
duld
[(l 1)
1
]ul 0
这方程属于合流超几何方程，进行数学上的求解，最后可得波函数为
nlm
Rnl(r)Yl( , )
m
其中，归一化的径向波函数
Rnl(r) Nnlexp(
12
) F( n l 1,2l 2, )
l
其中
Nnl
a
2(n 1)!(n l 1)!
n(2l 1)!
2
而球谐函数为
Yl( , ) ( 1)
m
其中Pl(cos )为连带勒让德函数
mm
(l m)!2l 1(l m)!4
Pl(cos )e
mim
同时，求得能量本征值 E 1 2
2
12n
2
添上能量的自然单位，得E En n为主量子数，n 1,2,3...
e
42
1
2
2 n
e
2
1
2
2an
其中a 2 e2，是波尔半径。
l为轨道量子数， l 0,1,2...(n 1)，分别对应s、p、d等轨道， m为磁量子数，m l, l 1,...l 共2l 1 2n2个取值。
3.2极坐标解法在二维中心力场中的应用
现实生活中的粒子一般是在三维势场中运动的，但是近年来，由于技术上的进步，有效的低维（如二维）体系的制备已在实验上逐步实现（如分子束外延技术制备半导体纳米结构等），低维量子物理的研究已引起人们广泛关注，下面我们讨论二维中心力场中的问题。
我们已经求得了三维库伦力场中氢原子的波函数及其能级，那么与三维中心力场相似，二维库伦力场的求解可采用极坐标解法，其中，二维力场中的库伦势能可表示为
V( )
其中 Ze2,Z 1,2,3...
则薛定谔方程可表示为
[
2
2
(
1
l
22
2
) 2
] E （E 0，束缚态）
显然，lz i
是守恒量，取 为守恒量完全集(H,lz)的共同本征态，令
im
( , ) eR( ) 其中，m 0, 1, 2...
则取自然坐标单位（ 1）时，径向方程可表示为
d
22
[
d
1d
d
m
22
(2E
2
)]R( ) 0 （2.1）
其中， 0， 是方程的奇点。
在 0时，方程（2.1）可渐进得表示为
d
22
[
d
1d
d
m
22
]R( ) 0
0s22
0，所以R 令R ，带入上式，得s m 0，所以s m，由于R
m
是没有物理意义的，应舍弃。
当 时，方程（2.1）可变为
[
d
2
2
d
1d
d
2E)]R( ) 0 （E 0）
可以解得R( ) exp( 2E )但是，满足束缚态边界条件的解只有
R( ) exp( 2E )
因此，我们令 R( ) e u( ) 其中 重新代入方程（2.1），可得
m
2E （E 0）
dud
2
2
(2m 1 2 )
dud
[2 (2m 1) ]u 0
再令 2 ，可得
dud
22
(2m 1 )
dud
[(m 2)
1
]u 0
这是合流超几何方程，它在 0的邻域的解析解表示为F( , , )相应参数为
12
1
m
， 2m 1
1，2... 其束缚态边界条件要求 n ， n 0，
由此有 则可得能量本征值（自然单位）
12n2
1n m 12
E
2
n m 0，1，2...
其中 1135
n2 n m ,,...
2222
即可证明能级简并度 fn 2n2 1,3,5...
2
则相应的波函数（未经归一化）可表示为
m 0, 1, 2 2 n2
1，2...F( n ,2m 1,) 其中 n 0，
n2
1135
n n m ,,...2 2222
n m( ,m) e
im
m
e
可以看到，二维库伦力场和三维库伦力场的问题有一定的相似性，事实上，只要把三维
库伦力场中l m
12
，即可求得二维库伦力场中的能级公式。但是，从径向分布来看，
二维和三维的氢原子也存在较大差异。例如圆轨道（径向量子数nr和n 为0的径向波函数）的最概然半径（自然单位）为
rn n,rn2 n2,
22
n 1,2,3...(三维氢原子)
(二维氢原子)
135
n2 ,,...
222
1
32
5
例如三维氢原子最低的三条圆轨道0s、0p、0d的最概然半径分别为1：4：9，而二维氢原子最低的三条圆轨道的最概然半径为()2:()2:()2 1:9:25，即这些相邻的圆轨道的
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