哈密顿算符不同形式下的表达式
胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。
关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用
1.引言
在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：
T V p 2/2m V H
r )出发，位置算符是空间矢量自身： r如果我们从波函数 (r
z x ，y y ， z它的分量是 x
i 动量算符表示为 p
它的分量是 p x i
x
，p ，p z i y i
y z
对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则p i 得到
2 V H
2m
2
在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。
2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式
2.1、极坐标下的哈密顿算符
极坐标中独立变量 、 与直角坐标中独立变量
x、y之间的关系：
x2 y2
y
arctax
图1 极坐标与直角坐标的关系 根据上述关系有：
x y
x y
x y
cos
sin
sin
cos
哈密顿算子 在直角坐标中的表达式为：
ex ey x y
据上述坐标之间的微分关系为： ( x) (
2
y
) (cos
2
sin
) (sin
2
cos
) (
2
) (
2
1
2
)
所以哈密顿算子 在极坐标中的表达式为：
1 e e
据哈密顿算子 2的计算过程有：
22
x
x
(
22
x
22
) (co ssin
2
sin
)(co s
sin
2
) sin
2
cos
2
2sin cos
2
2
2sin cos
2sin cos
2
222
22
22
y
sin
2
2
cos
2sin cos
2
cos
2
所以拉普拉斯算子 在极坐标中的表达式为：
2
[5]
22
1
1
22
2
2
或 2 1 ( ) 1
22
可以表示成： 所以极坐标下的哈密顿算符H
H
2
2m
(
1
(
)
1
22
2
) V （1.1）
在极坐标下的动能表达式为：T 正则动量为： p
T
12m
2 2 2) (
T
2
2 m
和 p m
p
2
得到哈密顿量为： H
2m
p
22
2m
V
（1.2）
i,p j] i ij的要求，如果仍将相 在极坐标中将（1.2）式直接进行量子化，通过满足[q
i 应的算符表示为： p
得到 H
2
22
i ， p
1
22
2m
(
2
) V （1.3）
通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是p i 并非厄密算符，一个算符F满足F
F，才是厄密算符。量子力学中表示力学量的算符必
须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符。所以 i p
不能作为动量算符的分量表示。
通过厄密性的要求，可以证明径向的动量算符应该为 p i (
12 ) i
1
（1.4）
i 现在把（1.4）式，p
带入（1.2）式得到
22
222
( 1 1 ) H
222
2m 8m
V （1.5）
比较（1.5）与（1.1），发现多了
22
8m
项，尽管所有的算符已经满足对易规则且为厄
密算符，但是仍然没有得到正确的量子哈密顿量。
的算符， 所以我们通过构造动量分量p在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，
不对易，为了保证径向 和 p或p p ，过渡到量子力学，由于p定义为p
动量算符是厄密算符，我们可以取
p
1 i
( p p ) i 2
这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。 所以动量算符在球坐标系中的各分量为p
i
i
，p
i
。
2.2、柱坐标下的哈密顿算符
柱坐标中独立变量r、 、z与直角坐标中独立
变量x、y、z之间的关系
r x2 y2
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