y
arcta
x
z z
图2直角坐标与柱坐标的关系 据上述关系有：
( x) (
2
y
) (
2
z
) (cos
2
r
sin r
z
) (sin
2
r
cos r
) (
2
z
2)
( )2 (1 )2 ( )2
r
r
所以哈密顿算子 在柱坐标中的表达式为：
1 er e ez rr z
据哈密顿算子 2的计算过程有：
22
x y
cos sin
2
2
22
r
2
sin r
2
2
r r
2sin cos
rr
2
2sin cos
r2sin cos
r
2
2
r r
sin rr
2
2
22
22
22
cos r
2sin cos
2
cos
2
r
2
22
z
22
。
z
所以拉普拉斯算子 2在柱坐标中的表达式为：
2
22
r
1 r r
1r
2
22
22
z
22
或 2 1 (r ) 1
222
r r rr z
可以表示成： 所以柱坐标下的哈密顿算符H
(1 (r ) 1 ) V （2.1） H
222
2mr r rr z
2
2
2
r的算符，在经典力学中，径 在柱坐标中将（2.1）式直接进行量子化，构造动量分量p
rr
r和 r p或p r p ，向动量就是动量的径向投影，定义为p过渡到量子力学，由于p
rr
不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 r
r p
1rr i
( p p ) i 2rr rr
z。 其实柱坐标中的动量分量与极坐标下的情形十分相似，就多了动量在Z上的分量p
所以动量算符在球坐标系中的各分量为p r
i
r
i r
，p
i
，p z i
z
。
2.3、球坐标下的哈密顿算符
球坐标中独立变量r、 、 与直角坐标中独立变量x、y、z之间的关系
222
r x y z 22
x y
arctaz
y
arcta x
图3直角坐标与球坐标的关系 根据上述关系有：
x
sin cos
r
cos cos
r
sin
rsin
y
sin sin
z
r
cos sin
r
r
r
sin
cos
rsin
cos
利用与柱坐标中相同的运算过程，可给出哈密顿算子 在球坐标中的表达式
1 1 er e e rr rsin
根据哈密顿算子的计算过程，得到拉普拉斯在球坐标下的表达式为：
2
22
r
2 r r
cos
2
rsin 1
1r
2
22
1
2
2
22
rsin 1
22
或 2 1 r2
2
r r
r
rsin
2
(sin
)
rsin
2
可以表示成： 所以球坐标下的哈密顿算符H
1 1 [1 r2 H(sin ) ] V 2222
2mr r rrsin rsin
2
2
然后对上式进行量子论，利用正则变换很容易得到
1212 1(p r2 2p 2 Hp) V 2
2mrrsin
在球坐标下，动量整体的算符[6]表示
i i (p
r r e
1 r
e
1
rsin
) e
但是 i
rr
为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取
r p
和 i
1
都不是厄密算符，所以都不能作为动量分量的算符表示。
1rr i
( p p ) i 2rr rr
这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。 同理，可以构造p
12
p p e ) i (e
1 r
i
12rtan
，p i
1
是厄
rsin
的算符表示。 密算符，可以作为p
2.4、哈密顿算符的矩阵形式
量子力学理论可以证明：每一力学量算符在矩阵代数中都有一对应的矩阵表示。现在，
的矩阵表示作一简略的数学推导。在量子力学中，所研究的重要问题我们对哈密顿算符H
E （4.1） 就是求解薛定谔方程： H
如果将波函数看出是n个线性无关的波函数 i(i 1,2,...n)的线性组合，即：
c1 1 c2 2 .. .cn n
n
c
i
i 1
i
（4.2）
如果我们选取一组正交向量 1， 2，···， n作为n维空间的一个基底， 从而可以用向量形式表示出来，即： (c1,c2,..c.n,) （4.3）
看成是在该矢量空间的线性变换，则可用矩阵来表示这个变换。不妨令：再将哈密顿算符H
a11
a21
H
..... an1
a12a22.....an2
............
a1n
a2n
（4.4） ....
ann
变换后，矩阵代数告诉我们，任一向量经线性变换后仍为该空间的一个向量。因此，经H
可得一新的向量。现令该新的向量为B：B (b1,b2,...,bn)
n
b
i
i 1
i
也就是：
a11 a21
H
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