..... an1
a12a22.....an2
............
a1n
c1 b1 a2n c2 b2
B ....
c b n n ann
n
b
i
i 1
i
（4.5）
是线性算符，故有： 又因H
H (c c .. cH .. n) H1122122
n
cH
i
i 1
n
i
（4.6）
一定可写成 ， 变换后所得的新矢量H根据矩阵代数可知，任一单位矢量 i经Hi1
2，···， n的迭加形式，因此，可令：
d d d H1j12j2nj
n
n
d
ij
i 1
i
(j 1,2,..n.) （4.7）
那么式（4.6）便成为： H
n
j
n
ij
c d
j 1
i 1
i （4.8）
nn
nn
对式（4.8）施以必要的代数运算： H
c
j
dij i
d
ij
cj i
j 1i 1
i 1
j 1
n
与式（4.5）进行比较，立即看出：bi d
ij
cj (i 1,2,...n,)
j 1
dd12...d1n
b 111 d c1 22...d写成矩阵形式，即为： bd2 21
2n
c2
............. .... b
n
dn1dn2
...
d
c n nn
再与式（4.5）进行比较，就得：
a11a12...a1n d11
d12...d1n
a21a22...a 2n d21
d22...d 2n
或： a ij dij......................
............
an1an2
...
ann
dn1
dn2
...
dnn
若将式（4.6）两边左乘 i并在整个空间积分，即得：
iH jd id1j 1d id2j 2d ... idnj nd
nn
i
drj rd
drj
i rd r 1
r 1
注意到 i， r的正交、归一条件，即
1当i r时
i
rd ir
0当i r时
那么式就变成： iH id dij aij
若积分 iH id 用符号Hij来代替，便有： Hij aij 根据式（4.9），即得出哈密顿算符H
的矩阵形式为： 4.9） （
H11 H21
H
...... Hn1
H12H22......Hn2
............
H1n
H2n
....
Hnn
3、哈密顿算符不同表达式的应用
3.1、球坐标解法在中心力场中的应用
自然界中，广泛碰到物体在中心力场中运动的问题，如地球在太阳系中的运动，电子在原子核周围的运动等等。在量子力学中求解中心立场的问题时，通常选(H,l,lz)恒量完全集，用它们的共同本征态来对定态进行分类。 对于能量本征方程 [
2
2
作
2
V(r)] E （1.1）
2
考虑到中心力场的球对称特点，选用球坐标较为方便。已知球坐标下有：
2
1 r
2
r
r
2
r
1
2
rsin 1
(sin
)
1
2
22
rsin
22
又因为 l [两式带入（5.1）可得 [
2
22
sin
(sin
)
1
sin
]
1
2
2 r r
r
2
r
l
22
2 r
V(r)] E 或 [
2
1
22
2 r r
r
l
22
2 r
V(r)] E
上式左边第二项称为“离心势能”，角动量越大则离心势能越大；第一项可表示为
r
1r
12
pr，
2
称为径向动能，其中pr i (
2
) pr，是径向动量。
取 为(H,l,lz)的共同本征函数，可得
m
（r, , ） Rl(r)Yl( , ) 其中
l 0,1,2... m l,l 1,..., l
m
方程中Rl(r)为径向函数，Yl( , )为角度方向函数，则本征方程变为
[
1r
2
ddr
2
r
2
2
V(r)
l(l 1)r
2
]RlYl
m
2
2
ERlYl
m
m
由此先不考虑角度方向的函数Yl( , )，则得到径向方程为
[
1r
2
ddr
2
r
2
2
(E V(r))
l(l 1)r
2
]Rl 0
或
dRldr
22
2dRlrdr
2
[
2
2
(E V(r))
l(l 1)r
2
]Rl 0 其中l 0,1,2... （1.2）
不同的中心力场V(r)就觉定了不同的径向波函数，及其本征值。径向方程（1.2）不含磁量子数m。因此能量本征值与m无关。可以这样理解：由于中心力场的球对称性，粒子的能量显然与z轴的取向无关。但是其能量与角量子数l有关，在给定l的情况下，
m l, l 1,...l 1,l，共有(2l 1)个可能取值，因此，一般来说，中心力场中粒子的能级
是(2l 1)简并的。 为了求解方程，可令
Rl(r) l(r)r
代人方程（1.2），得
l [
2
2
(E V(r))
l(l 1)r
2
] l 0 （1.3）
在一定条件下即可求解径向方程（1.2）或（1.3），即可得出能量本征值。一般在束缚态条件下求解径向方程时，将出现径向量子数nr 0,1,2...，它们代表径向波函数的节点数（其中r 0, 着两个奇点不包括在内）。
m 另一方面，角度部分满足球谐函数Yl( , )，则只要根据条件求出径向函数Rl(r)和球
mm谐函数Yl( , )，即可解得中心力场中的波函数 （r, , ） Rl(r)Yl( , )及其能量本征
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