2013数学分析-上-参考答案A

2013年下学期《数学分析》（上）课程考试参考答案

一、填空题（每小题3分，共15分）：

1、xx2； 2、0； 3、

2； 4、6； 5、ln|cosx|?C

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、D; 2、C； 3、B； 4、B； 5、A

三、求极限（每小题5分，共10分）

?1、limn???limn??n2?n?n

?(n2?n?n)(n2?n?n)n?n?n2?limn??nn2?n?n?lim1?1/n?1n?????1?1 2tanx?sinx2、lim 3x?0xsinx(1?cosx)1?coxsinx1?lim?lim?lim?32x?0x?0x?02x2xcosxx

四、假设数列{an}满足：a1?2,an?1?2?an,n?1,2,?，证明数列{an}收敛，并求其极限。（10分）

证明：由递推公式可知，数列{an}是递增的。现用数学归纳法证明{an}有上界。

已知 a1?2?2，假设 an?2，则有 an?1?2?an?2?2?2，从而对一切n都有an?2，即证明了{an}有上界。

2由单调有界定理可知，数列{an}有极限，不妨记为a，由于 an?1?2?an，

两边取极限得到 a2?2?a，即有：a??1ora?2。

由于数列为非负的，不可能取?1。因而有：liman?2 。

n??五、计算定积分：?101?x2dx。（10分）

解：令x?sint，当t由0变到以写为：

??时，x由0增到1，故取t?[0,]。则定积分可

22?1??01?x2dx??201?sin2tcostdt??20cos2tdt

?1 ??2(1?co2st)dt?20?1?1?2?2t?|0? ?t?sin2?24?六、求不定积分：?eaxsinbxdx，其中a,b为常数，a?0。（10分）

解：令I??eaxsinbxdx，J??eaxcosbxdx，则

11ax1axaxaxsinbxd(e)?esinbx?becosbxdx?esinbx?bJ ??aaa111J??cosbxd(eax)?eaxcosbx?b?eaxsinbxdx?eaxcosbx?bI

aaa由此得到： I?????????ax??aJ?bI?ecosbx ? ax??bJ?aI?esinbx解此方程组，求得 I??eaxsinbxdx?eaxasinbx?bcosbx?C

a2?b2bsinbx?acosbxJ??eaxcosbxdx?eax?C

a2?b2七、设f(x)??x0（1）f(0),f?(0),f??(0)；（6分） e?tcostdt，试求：

（2）f(x)在闭区间[0,?]上的极大值与极小值。（6分） 解：（1）f(0)??00e?tcostdt?0

f?(x)?e?xcoxs，所以 f?(0)?1

f??(x)??e?xcoxs?e?xsinx，所以 f??(0)??1 （2）令 f?(x)?e?xcoxs?0，则在 [0,?]上有一个根：x?当x??2

?2时，f?(x)?0；当 x????2时，f?(x)?0。所以在x??2时，f(x)取

1???极大值f????2e?tcostdt?(e2?1)。

2?2?0由f(x)在x?f(?)??2x?0,x??，f(x)取极小值 f(0)?0， 两边的单调性可知：

1??(e?1)。 2??0e?tcostdt?

八、求由抛物线y?x2与y?2?x2所围图形的面积。（8分）

解：如图所示，两条曲线的交点为

P1(?1,1),P2(1,1)。所求图形的面积S为 S??1?1(2?x2?x2)dx?2?12?1(1?x)dx

?2???x?13x3???|1?8?13

九、讨论瑕积分?1dx0xqdx，(q?0)的收敛性。（10分）解：被积函数在 (0,1]上连续，x?0为其瑕点。由于

1dx?1?uxq???1?q(1?u1?q),q?1,(0?u?1) ???lnu,q?1故当 0?q?1时，瑕积分?1dx0xqdx收敛，且

?1dx1dx0xq?ulim?0??uxq?11?q 当 q?1时，瑕积分发散于 ??。

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