高中必修四-向量知识点总结及高考题型总结

向量的知识点与高考应用及题型融合

一,向量重要结论

（1）、向量的数量积定义：a?b?|a||b|cos? 规定0?a?0， a?a?a2?|a|2 （2）、向量夹角公式：a与b的夹角为?，则cos??a?b

|a||b|（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线?存在惟一的??R，使b??a。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)平行?x1y2?x2y1?0 （5）、两向量垂直的充要条件：向量a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0 （6）、向量不等式：|a|?|b|?|a?b|，|a||b|?|a?b|

（7）、向量的坐标运算：向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a?b?x1x2?y1y2 （8）、向量的投影：︱b︱cos?=

a?b∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影 |a|（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且

方向相同的向量。

?????（10）、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0?｜a｜＝0 由

于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a0为单位向量?｜a0｜＝1??

（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同

??或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同

一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

??（1） 给出直线的方向向量u??1,k?或u??m,n?，要会求出直线的斜率；

（2）给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的中点;

?（3）给出PM?PN?0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出AP?AQ??BP?BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

??（5）给出以下情形之一：①

AB//AC；②存在实数

；③若存在实数?,使AB??AC?,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三点共线.

（6） 给出OP?OA??OB，等于已知P是AB的定比分点，?为定比，即AP??PB

1??（7） 给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给出MA?MB?是钝角, 给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是锐角。

m?0,等于已知?AMB???MAMB?（8）给出?????MP,等于已知MP是?AMB的平分线/

?MAMB???（9）在平行四边形ABCD中，给出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形;

（11）在?ABC中，给出OA?OB?OC，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在?ABC中，给出OA?OB?OC222?0，等于已知O是?ABC的重心（三角形的重心是三角形三条

1

中线的交点）；

（13）在?ABC中，给出OA?OB?OB?OC三角形三条高的交点）； （14）在?ABC中，给出OP?OA??OC?OA，等于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是

?(ABAC?)(??R?)等于已知AP通过?ABC的内心； |AB||AC|（15）在?ABC中，给出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

1AB?AC,等于已知AD是?ABC中BC边的中线。 2???（17）如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1,?2使：

（16） 在?ABC中，给出AD????????a??1e1??2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

（18）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 （19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 （20）1.结合律不成立：a?b?c?a?b?c；

2.消去律不成立a?b?a?c不能得到b?c?

????3.a?b=0不能得到a=0或b=0

1、 向量与三角函数的结合

向量与三角函数结合，题目新颖而精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查 1.（江西18）．已知向量

a?(2cosxx?x?x?,tan(?)),b?(2sin(?),tan(?)),令f(x)?a?b. 2242424是否存在实数x?[0,?],使f(x)?f?(x)?0(其中f?(x)是f(x)的导函数)?若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

xx?x?x?sin(?)?tan(?)tan(?) 2242424xx1?tantan?1x2x2xxxx2?2 ?22cos(sin?cos)??2sincos?2cos2?1

xx222222221?tan1?tan22?sinx?cosx.

解：f(x)?a?b?22cos令f(x)?f?(x)?0,即:

f(x)?f?(x)?sinx?cosx?cosx?sinx?2cosx?0.

可得x??2,所以存在实数x??2?[0,?],使f(x)?f?(x)?0.

2

2．已知向量m?(cos?,sin?)和n??2?sin?,cos?,????,2??，且m?n??82????,求cos???的值. 5?28?分析：考查知识点：（三角和向量相结合） 解:m?n?cos??sin??2,cos??sin?

??m?n??cos??sin??2?2?(cos??sin?)2= ??????4?22(cos??sin?)=4?4cos????=21?cos???? 4?4???由已知m?n?82??????7??,,得cos?????又cos?????2cos2(?)?1 54?284?25????165???9?cos2(?)???? ?????,2?? ?

282582884????????? cos????0 ? cos?????

5?28??28?3.（2009上海卷文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 . 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)， n?(siBn，,sAip?(b?2,a?2) .

（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；

（2） 若m⊥p，边长c = 2，角C =

?，求ΔABC的面积 . 3uvv证明：（1）Qm//n,?asinA?bsinB,

ab?b?，其中R是三角形ABC外接圆半径，a?b2R2R??ABC为等腰三角形

uvuv解（2）由题意可知m//p?0,即a(b?2)?b(a?2)?0

即a?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?a?b?ab

由余弦定理可知， 4?a?b?ab?(a?b)?3ab

222即(ab)2?3ab?4?0 ?ab?4(舍去ab??1)?S?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

11?absinC??4?sin?3 2232、 与函数的结合

向量与函数的结合，是以向量为载体来考查函数，所以本质上仍然是函数题 4.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}.定义函数

3

f:M?N.若点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))若三角形ABC的外接圆圆心为D,且

DA?DC??DB(??R)则满足条件的函数f(x)有（ ）

A 6个 B 10个 C 12个 D 16个

5.（湖北理17）．已知向量a?(x2,x?1),b?(1?x,t),若函数f(x)?a?b在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析

和解决问题的能力。

解法1：依定义f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t,

则f?(x)??3x2?2x?t.

若f(x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f?(x)?0.

?f?(x)?0?t?3x2?2x,在区间(?1,1)上恒成立,考虑函数g(x)?3x2?2x, 1由于g(x)的图象是对称轴为x?,3开口向上的抛物线，故要使t?3x?2x在区间（－1，1）上恒成立?t?g(?1),即t?5.

2而当t?5时,f?(x)在(?1,1)上满足f?(x)?0,即f(x)在(?1,1)上是增函数.

故t的取值范围是t?5.

解法2：依定义f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t,

232f?(x)??3x2?2x?t.若f(x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f?(x)?0.?f?(x)的图象是开口向下的抛物线，

?当且仅当f?(1)?t?1?0,且f?(?1)?t?5?0时 f?(x)在(?1,1)上满足f?(x)?0,即f(x)在(?1,1)上是增函数.故t的取值范围是t?5.

3、 与解析几何的结合

平面向量与解析几何结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算

y2?1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1?MF2?0,则点M到x轴的距离为（C） 6．已知双曲线x?24523（A） （B） （C） （D）3 33327．已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足（x，y）的轨迹方程为（ B ）

MN?MP?MN?NP?0，则动点P

（A）y2?8x （B）y2??8x （C）y2?4x （D）y2??4x

4

8.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足PA?PB?x2，则点P的轨迹是（D） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [点评]此题考查轨迹方程和向量的基本运算等知识，属于较简单的题.

x2?y2?1的右焦点为F,右准线为l，点A?l，线段AF交C于点B，若9.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:2FA?3FB,则|AF|=

(A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3

解:过点B作BM?l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA?3FB,故|BM|?2.又由椭圆3的第二定义,得|BF|?222???|AF|?2.故选A 233x2y210.（2009浙江理）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直线与双曲线的两条

ab渐近线的交点分别为B,C．若AB?1BC，则双曲线的离心率是 ( ) 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．2 B．3 C．5 D．10 答案：C

?0，直线与两渐近线的交点为B，C，【解析】对于A?a,0?，则直线方程为x?y?a?a2ab?a2abB?,,C(,?)， ?a?ba?ba?ba?b??2a2b2a2bab??ab则有BC?(2,?),AB??,??，

a?b2a2?b2a?ba?b??因2AB?BC,?4a2?b2,?e?5．

x2y211.（2009浙江文）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴，

ab直线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（ ）A．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1132 B． C． D．

3222D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．

【解析】对于椭圆，因为AP?2PB，则OA?2OF,?a?2c,?e?12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

x2y2?2?1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，12.（2009四川卷文）已知双曲线

2b点P(3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝

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