概率统计简明教程课后习题答案（非常详细版）(3)

即X服从参数p?10的几何分布。 13（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，

103?105,P?X?2???,1313?1226 3?2?1053?2?1?101P?X?3???,P?X?4???.13?12?1114313?12?11?10286P?X?1??X的分布律为

X 概率 1 10 132 5 263 5 1434 1 286（3）X可能取到的值为1，2，3，4， 103?1133,P?X?2???,1313?13169 3?2?12723?2?16P?X?3???,P?X?4???.13?13?13219713?13?132197P?X?1??所求X的分布律为

X 概率 1 10 132 33 1693 72 21974 6 2197由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量X~B?6,p?，已知P?X?1??P?X?5?，求p与P?X?2?的值。

k6?k解 由于X~B?6,p?，因此P?X?6??????p?1?p?,k?0,1,?,6。

?6??k?由此可算得 P?X?1??6p?1?p?5,P?X?5??6p5?1?p?, 即 6p?1?p?5?6p5?1?p?, 解得p?；

?6??1??1????PX?2?此时，?2???2??2???????26?2126?5?1?15?????。 2!?2?646 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。

解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从n?4,p?的二项分布，即

?4??1??1?P?X?k????k???2??2???????k4?k1212,k?0,1,2,3,4

由此可得X的分布函数

0， x?0

1， 0?x?1 165 F?x?? ， 1?x?2

1611 ， 2?x?3

1615 ， 3?x?4

16

1， x?4

9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？

解 设至少要进n件物品，由题意n应满足

P?X?n?1??0.99,P?X?n??0.99,

即 P?X?n?1???nn?14kk?0k!e?4?0.99

4k?4P?X?n???e?0.99

k?0k!查泊松分布表可求得 n?9。

10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从n?1000,p?0.0001的二项分布，即

X~B?1000,0.0001?，由于n较大，p较小，因此也可以近似地认为X服从??np?1000?0.0001?0.1的

泊松分布，即X~P?0.1?，所求概率为

P?X?2??1?P?X?0??P?X?1?0.10?0.10.11?0.1 ?1?e?e0!1!?1?0.904837?0.090484?0.004679.11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。

解 设事件Ai表示第i次试验成功，则P?Ai??0.75，且A1,?,An,?相互独立。随机变量X取k意味着前k?1次试验未成功，但第k次试验成功，因此有

P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1P?Ak??0.25k?10.75

????2 ??所求的分布律为

X 概率 1 0.75 … … k 0.25k?1?0.75 … … 0.25?0.75 12. 设随机变量X的密度函数为 f?x?? 2x， 0?x?A

0， 其他， 试求：（1）常数A；（2）X的分布函数。

解 （1）f?x?成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为f?x??0；其二为

?????f?x?dx?1，因此有?02xdx?1，解得A??1，其中A??1舍去，即取A?1。

A（2）分布函数

F?x??P?X?x?????f?x?dx

x???0dx = ???0dx??02xdx00xxx?0 0?x?1

x???0dx??02xdx??10dx1x?1

01x?0x?1 = x2 0?x?1

13. 设随机变量X的密度函数为f?x??Ae?x,???x???，求：（1）系数A；（2）P?0?X?1?；（3）X的分布函数。

解 （1）系数A必须满足???Ae?xdx?1，由于e?x为偶函数，所以

?????????x?x?x???Aedx?2?0Aedx?2?0Aedx?1

解得A?；

（2）P?0?X?1???0e?xdx??0e?xdx?（3）F?x?????f?x?dx

x1111122211?e?1； 2?? =

x?x???2edx1x?01?xx1?x???2edx??02edx0x

x?0

1xx?0???2edx =

01x1x?xx?0edx?e???2?02dx1xx?0e = 2

11?1?e?xx?0221xx?0e = 2

1?x1?ex?02??14. 证明：函数

xf?x?? ce0?x22cx?0

x?0 （c为正的常数）

为某个随机变量X的密度函数。 证 由于f?x??0，且???f?x?dx????e????x?cx22cdx???0e???x2?2cd????x?x????e2c2c??22???1，

0因此f?x?满足密度函数的二个条件，由此可得f?x?为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数

0.5exx?0f?x?? 0.25 0?x?2

0x?2xx对应的分布函数F?x?的表达式。

x解 当x?0时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx?0.5ex

当0?x?2时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx??00.25dx?0.5?0.25x

0x当x?2时，F?x?????0.5exdx??00.25dx??20dx?0.5?0.5?1

02x

综合有

x?0;0.5ex,F?x?? 0.5?0.25x, 0?x?2;

x?2.1,16. 设随机变量X在?1,6?上服从均匀分布，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率。 解 X的密度函数为

f?x??

1, 1?x?6； 5 0, 其他.

方程t2?Xt?1?0有实根的充分必要条件为X2?4?0，即X2?4，因此所求得概率为

461PX2?4?P?X??2或X?2??P?X??2??P?X?2??0??2dx?。

55?? 17. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为

f?x??

20000?x?100?3, x?0;

0， 其他.

求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。

x?0;0,解 (1) F?x?????f?x?dx= x 20000

dx,?0?x?100x?0.?3x?0;0, = 10000

1?,x?0.?x?100?2x?10000(2)P?X?200??1?P?X?200??1?F?200??1??1???200?100?2??1?? 。 ?9? 18. 设随机变量X的分布函数为

F?x?? 0,1??1?x?e?x,

x?0 x?0求X的密度函数，并计算P?X?1?和P?X?2?。

解 由分布函数F?x?与密度函数f?x?的关系，可得在f?x?的一切连续点处有f?x??F??x?，因此

x?0xe?x,f?x??

其他0,所求概率P?X?1??F?1??1??1?1?e?1?1?2e?1；

19. 设随机变量X的分布函数为F?x??A?Barctanx,???x???，求(1) 常数A,B；(2)P?X?1?；(3) 随机变量X的密度函数。

lim?A?Barctanx??0x???x???P?X?2??1?P?X?2??1?F?2??1?1??1?2?e?2?3e?2。

??解：(1)要使F?x?成为随机变量X的分布函数，必须满足limF?x??0,limF?x??1，即

x???x?????1lim?A?Barctaxn

计算后得

A?A??2B?0B?121A?2 解得

1B??

?另外，可验证当A?,B?（2） P?X?1??P??1?X?1??F?1??F??1?

??121?时，F?x??11?arctanx也满足分布函数其余的几条性质。 2?11?11??arctan1???arctan??1?? 2??2??1?1???4?????????? ?4?2（3）X的密度函数

f?x??F??x??1,???x???。

?1?x2?? 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从??的指数分布，其密度函数

xx?01?5为f?x?? 5e, ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。

其他015（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。

解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从??的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为

P?X?10???10??151?5edx?e?2； 5x（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从n?5,p?e?2的二项分布，所求概率为

P?Y?1??P?Y?0??P?Y?1??5??2???0??e?????1?e?0?25?5??2?2???1??e1?e????4

?1?4e?21?e?2????421. 设X服从??0,1?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P?X?2.2?；（2）

P?X?176?；（3）P?X??0.78?；（4）P?X?1.55?；（5）P?X?2.5?。

解 查正态分布表可得

（1）P?X?2.2????2.2??0.9861；

（2）P?X?1.76??1?P?X?1.76??1???1.76??1?0.9608?0.0392； （3）P?X??0.78?????0.78??1???0.78??1?0.7823?0.2177； （4）P?X?1.55??P??1.55?X?1.55????1.55?????1.55?

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