倒立摆与自动控制原理课程设计

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1.1直线一级倒立摆建模

直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之 一，见图1所示。

图1 倒立摆实物图

用牛顿力学方法建模：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2所示：

图2直线一级倒立摆模型 我们不妨做以下假设： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度

I 摆杆惯量

F 加在小车上的力

x 小车位置

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作

力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图3示，图示方向为矢量正方向。

图3及摆杆受力分析 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

d2 n?m2(x?lsin?) （1）

dt即：

???mlcos??ml?sin? （2） n?mx把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程：

....2?...2??x?x (M?m)b?m?lco?s?m?lsi?n? F （3） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到

下面方程：

d2?m2(clo?s ) p?mg (4)

dtp?mg??ml?sin??ml?2cos? (5)

...力矩平衡方程如下：

?plsin??Nlcos??l? (6) 注意：此方程中力矩的方向，由于θ =π +φ,cosφ = -cosθ,sinφ = -sinθ ，故等式 前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

..??cos? (7) (I?ml)??mglsin???mlx2..设θ =π +φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧

dθ 2

度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：

d?cos???1,sin????,()2?0 (8)

dt用，来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

???u (9) ??bx??ml? (M?m)?x(I?ml2)????mgl??mlx?? 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

x(s)?[(I?ml2)ml?gs2]?(s) 或

?(s)mls2X(S)?(I?ml2)s2?mgl 如果令v = x，则有：

?(s)V(s)?ml(I?ml2)s2?mgl 把上式代入方程组的第二个方程，得到：

(M+m)[(l?ml2)ml-gs]?(s)s2+b[(l?ml2)ml+gs2]?(s)s-ml?(s)s2=U(s) 整理后得到传递函数：

ml?(s)s2U(s)?q s4?b(I?ml2)(M?m)mglbmgl qs3?qs2?qs其中

q?[(M?m)(I?ml2)?(ml)2] 设系统状态空间方程为：

. x?AX?Bu y?CX?Du (19) 由(9)方程为：

(10) (11) 12） 13） 14） 15） 16）

（ （ （ （ （?? （17） (I?ml)??mgl??mlx2..对于质量均匀分布的摆杆有：

I?于是可以得到：

..122?? (18) (ml?ml)??mgl??mlx312ml 3

化简得到：

3g3????x （19） 4l4l 实际系统的模型参数如下:

M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m

I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m 把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数：

??..mls2 （20） ?X(S)(I?ml2)s2?mgl?(s)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

G(s)??(s)X(S)?0.02725 （21）

0.0102125S2?0.26705可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统 的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控，因此可 以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。

1.2 直线一级倒立摆频率响应控制实验

系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一 定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。

频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数

坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表 示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当ω从0变化到无穷 大时，向量 G(jω) G(jω)的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳 定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝 的稳定性和相对稳定性。 1.2.1 频率响应分析

原系统的开环传递函数为：

G(s)??(s)X(S)?0.02725 （22）

0.0102125S2?0.26705

其中输入为小车的加速度V(s)，输出为摆杆的角度Φ(s)。 在MATLAB下绘制系统的Bode图和奈奎斯特图。 绘制Bode图的命令为： Bode(sys)

绘制奈魁斯特图的命令为： Nyquist(sys)

在MATLAB中键入以下命令： clear;

num=[0.02725];

den=[0.0102125 0 -0.2

z=roots(num); p=roots(den);

subplot(2,1,1) bode(num,den) subplot(2,1,2) nyquist(num,den)

得到如图4示的结果： z =

Empty matrix: 0-by-1 p =

5.1136 -5.1136

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