组合数学引论课后答案(7)

4.15计算?(210),?(105). （舍）

4.16计算T={∞?1, ∞?2, ∞?3，∞?4}的长度为4的圆排列数。 （舍）

补：（1）在1~2000中能被7整除，但不能被6和10整除的个数。 证明：A1,A2,A3表示被6、7和10整除的数的子集，所求：

A1?A2?A3?A2?A1?A3

?A2?A2?(A1?A3)?A2?(A2?A1)?(A2?A3)?A2?(A2?A1?A2?A3?(A2?A1)?(A2?A3))

=219

(2)在1~2000中至少被2、3和5两个数整除的数的个数？

A2?A1?A2?A3?A1?A3?2A1?A2?A3=534

习题五

5.1 求如下数列的生成函数。

（1）ak?(?1)k(k?1)；（2）ak?(?1)kk2k； （3）ak?k?6； （4）ak?k(k?2)；

?n?k??n??（5）ak???k?； （6）ak???3??； ????解：（1）由已知得

bk?k?1B(x)?1

(1?x)21 (x?1)2故A(x)?（2）设bk?(?2)k则G{bk}?1 1?2x又因为ak?kbk故G{ak}?x(G{bk})1?bk?k?2x

(1?2x)2或者

B(x)?x (1?x)2（3）G{ak}?G{bk?k}?G{ck?6}?（4）G{ak}?x(G{bk?k?2})1?x66?5x?? 22(1?x)1?x(1?x)x(3?x) (1?x)3?n?k??n?1?k?1?ak??????kk???? （5）

1G{ak}?(1?x)n?1（6）

?k?ak????3?n?4,?4?k?1??3?k?bk?????? kk?????3?k????3??G{ak}?x3(1?x)4

5.2 求如下数列的指数生成函数。 （1）ak?(?1)k； （2）ak?2kk!；

（3）ak?

1； k?1xk解： （1）Ge{ak}??(?1)?e(?x)

k!k?0?k（2）Ge{ak}??2kxk?G{bk?2k}?k?0?1 1?2x(3) Ge{ak}??xf(x)??????1xk?f(x)

k?0(1?k)!?则

1xk?1k?0(1?k)!1kx?1?ex?1k?0k!ex?1故Ge{ak}?

x

2?3x?9x25.3 已知数列?ak?的生成函数是A(x)?，求ak. 1?3x

?22?3x而A(x)?解： A(x)??2?3kxk 1?3x1?3xk?0?2?3k,k?1故ak??

?9,k?1

5.4 求(1?x4?x8)100展开式中x20的系数是多少？

5(1) 若x8取0，则x4取5个，这种情况有C100种；

331(2) 若x8取1，则x4取3个，这种情况有C1100?C99或C100?C97； 2(3) 若x8取2，则x4取1个，这种情况有C1100?C99； 5312故系数为C100?C1100?C99?C100?C99= 91457520。

其他方法

5.5 三个人每个人投一次骰子，有多少种方法使得总点数为9？

2解：这相当于有9个球，用隔板将其分成3组，共有C8?28种方法。又因为这

次点数小于等于6，即711，171和117三种情况不符，故共有25种方法。

(x?x2?x3?x4?x5?x6)3?(x?x)73??2?k?k??x?k(2)?

5.6 求在102和104之间的各位数字之和等于5？

解：(1) 三位数时，相当于x1?x2?x3?5(1?x1?5,0?x2?5,0?x3?5)的非

负

整

数

解

的

个

数

。

故中

G(x)?(x?x2?x3?x4?x5)?(1?x?x2?x3?x4?x5)?(1?x?x2?x3?x4?x5)C5为G(x)展开式x5的系数。

(2) 四位数时，相当于

x1?x2?x3?x4?5(1?x1?5,0?x2?5,0?x3?5,0?x4?5)的非负整数解的个

数。

5.7 一个1×n的方格图形用红、蓝、绿和橙四种颜色涂色，如果有

偶数个方格被涂成红色，还有偶数个方格被涂成绿色，求有多少种方案？

解：涂色方案数为bk则：

22xxeGe{bk}?(1?x(1?x2!?4!??)?2!?3!??)?(2423x?e?x22)?(ex)2?e4x?2e2x?14???14k?0?4k?2k?1xk4k!?

因此：bk?4k?1?2k?1，所以有4n?1?2n?1种方案。

5.8 有4个红球，3个黄球，3个蓝球，每次从中取出5个排成一行，

求排列的方案数？

解：设每次取出的k个球的排列数为bk，数列{bk}的指数型生成函数

为Ge{bk}则有

xxxxxxx而我们所求的是Ge{bk}?(1?1!?x(1?1!?x(1?1!?x2!?3!?4!)?2!?3!)?2!?3!)2342323x55!的

系数b5。故有b5?220。

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